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1、函数的单调性,设函数 f(x)的定义域为 I:,一、函数的单调性,注:函数是增函数还是减函数是对定义域内某个区间而言的.有的函数在一些区间上是增函数,而在另一些区间上可能是减函数.,如果对于属于定义域 I 内某个区间上的任意两个自变量的值 x1,x2,当 x1x2 时,都有 f(x1)f(x2),那么就说 f(x)在这个区间上是增函数;,如果对于属于定义域 I 内某个区间上的任意两个自变量的值 x1,x2,当 x1f(x2),那么就说 f(x)在这个区间上是减函数.,如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么就说函数 y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,这一区间叫做函数 y
2、=f(x)的单调区间.,二、单调区间,1.取值:对任意 x1,x2M,且 x1x2;,三、用定义证明函数单调性的步骤,在单调区间上,增函数的图象自左向右看是上升的,减函数的图象自左向右看是下降的.,2.作差:f(x1)-f(x2);,3.判定差的正负;,4.根据判定的结果作出相应的结论.,注:函数的单调区间只能是其定义域的子区间;,函数的单调区间是连续区间,若区间不连续,应分段 考查.,复合函数 fg(x)的单调性与构成它的函数 u=g(x),y=f(u)的单调性密切相关,其规律如下：,四、复合函数的单调性,五、函数单调性的判定方法,1.定义法:,主要适用于抽象函数或已知函数.,2.导数法:,
3、适用于具体函数.,3.图像法:,4.复合函数单调性的判定:,5.和函数单调性的判定:,6.奇偶性:,7.反函数:,奇函数在对称区间上具有相同的单调性;,偶函数在对称区间上具有相反的单调性.,互为反函数的两个函数在各自的定义域上具有相同的单调性.,六、两类问题的区别,1.函数 f(x)的单调递增(或递减)区间是 D:,2.函数 f(x)在区间 D 上单调递增(或递减):,不等式 f(x)0(0)的解集是区间 D;,不等式 f(x)0(0)对于 xD 恒成立.,若函数 f(x)可导,解:函数 f(x)的定义域为(-,0)(0,+),典型例题,求函数的单调区间是单调性学习中的最基本的问题,但必须注意
4、,如果函数的解析式含有参数,而且参数的取值影响函数的单调区间,这时必须对参数的取值进行分类讨论.,注:这个函数的单调性十分重要,应用非常广泛,它的图象如图所示:,3.设函数 f(x)=kx3+3(k-1)x2-k2+1.(1)当 k 为何值时,函数 f(x)的单调递减区间是(0,4);(2)当 k 为何值时,函数 f(x)在(0,4)内单调递减.,不等式 f(x)0 的解集为(0,4),0 与 4 是方程 kx2+2(k-1)x=0 的两根,即 kx2+2(k-1)x0 的解集为(0,4),(2)命题等价于 kx2+2(k-1)x0 对 x(0,4)恒成立,设g(x)=kx+2(k-1),等价
5、于 kx+2(k-1)0 对 x(0,4)恒成立,由于 g(x)为单调函数,解:对 f(x)求导得 f(x)=3kx2+6(k-1)x,(1)函数 f(x)的单调递减区间是(0,4),4.已知 f(x)=8+2x-x2,若 g(x)=f(2-x2),试确定 g(x)的单调区间.,解:g(x)由 f(t)=8+2t-t2 及 t=2-x2 复合而得.,y=f(t)=8+2t-t2=-(t-1)2+9,f(t)的递增区间是(-,1,递减区间是 1,+).,当 x(-,-1 时,t=2-x2 是增函数,这时 t(-,1,y=f(t)是增函数.,故当 x(-,-1 时,g(x)=f(2-x2)是增函数
6、;,当 x-1,0 时,t=2-x2 是增函数,这时 t1,2,y=f(t)是减函数.,故当 x-1,0 时,g(x)=f(2-x2)是减函数;,当 x0,1 时,t=2-x2 是减函数,这时 t1,2,y=f(t)是减函数.,故当 x0,1 时,g(x)=f(2-x2)是增函数;,当 x1,+)时,t=2-x2 是减函数,这时 t(-,1,y=f(t)是增函数.,故当 x1,+)时,g(x)=f(2-x2)是减函数;,综上所述 g(x)的单调递增区间是(-,-1 与 0,1;,单调递减区间是-1,0 与 1,+).,另解:g(x)=8+2(2-x2)-(2-x2)2.,对 g(x)求导得:g
7、(x)=-4x(x2-1),由g(x)0 得:x-1 或 0 x1;,由g(x)1.,故 g(x)的单调递增区间是(-,-1)与(0,1);,单调递减区间是(-1,0)与(1,+).,4.已知 f(x)=8+2x-x2,若 g(x)=f(2-x2),试确定 g(x)的单调区间.,分析:这是抽象函数的单调性问题,应该用单调性定义解决.,解:在 R 上任取 x1,x2,设 x1f(x1)且:,f(x)是 R 上的增函数,且 f(5)=1,当 x5 时 f(x)1.,若 x1x25,则 0f(x1)f(x2)1,0f(x1)f(x2)1;,f(x2)-f(x1)0,F(x2)F(x1);,若 x2x
8、15,则 f(x2)f(x1)1,f(x1)f(x2)1,综上,F(x)在(-,5)上为减函数,在(5,+)上为增函数.,f(x2)-f(x1)0,F(x2)F(x1).,6.已知函数 f(x)的定义域为(-,0)(0,+),且满足条件:f(xy)=f(x)+f(y),f(2)=1,当 x1 时,f(x)0.(1)求证:f(x)为偶函数；(2)讨论函数的单调性；(3)求不等式 f(x)+f(x-3)2的解集.,(1)证:在中令 x=y=1,得 f(1)=f(1)+f(1)f(1)=0.,令 x=y=-1,得 f(1)=f(-1)+f(-1)f(-1)=0.,再令 y=-1,得 f(-x)=f(
9、x)+f(-1)=f(x).,f(x)为偶函数.,先讨论 f(x)在(0,+)上的单调性,任取x1,x2,设x2x10,f(x2)f(x1).,f(x)在(0,+)上是增函数,由(1)知,f(x)在(-,0)上是减函数.,偶函数图象关于 y 轴对称,(3)解:fx(x-3)=f(x)+f(x-3)2,由、得 2=1+1=f(2)+f(2)=f(4)=f(-4),1)若 x(x-3)0,f(x)在(0,+)上为增函数,由 fx(x-3)f(4)得:,2)若 x(x-3)0,f(x)在(-,0)上为减函数,由 fx(x-3)f(-4)得:,原不等式的解集为-1,0)(0,3)(3,4.,注 抽象函
10、数问题是函数学习中一类比较特殊的问题,其基本方法是变量代换、换元等,应熟练掌握它们的这些特点.,法二 原不等式等价于 f|x(x-3)|f(4)(x0,x-30),由 f(x)在(0,+)上为增函数得:|x(x-3)|4.再进一步求得解集.,(1)证:由已知,对任意的 x1,x2(-,+)且 x1x2 有:,f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)+x1-f(x1)=f(x2-x1)-1.,x2-x10,f(x2-x1)1.,f(x2-x1)-10.,f(x2)-f(x1)0 即 f(x2)f(x1).,f(x)是 R 上 的增函数.,(2)解:f(4)=5,令 a=b=2 得:f(4)=f(
11、2)+f(2)-1,从而 f(2)=3.,原不等式等价于 f(3m2-m-2)f(2).,f(x)是 R 上 的增函数,3m2-m-22,即 3m2-m-40.,7.函数 f(x)对任意 a,b R 都有 f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当x0 时,有 f(x)1.(1)求证:f(x)是 R 上 的增函数;(2)若 f(4)=5,解不等式 f(3m2-m-2)3.,f(x)的定义域关于原点对称,且对定义域内的任意 x,有:,解:要使函数有意义必须:,解得:-1x1 且 x0.,函数 f(x)的定义域为(-1,0)(0,1).,函数 f(x)是奇函数.,1+x21+x10;1-x11-x20,即 f(x1)f(x2).,函数 f(x)在(0,1)内单调递减.,由于 f(x)是奇函数,故函数 f(x)在(-1,0)内也单调递减.,
