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1、函数奇偶性,函数奇偶性的概念:,偶函数定义:如果对于f(x)定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫偶函数.,奇函数定义:如果对于f(x)定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫奇函数.,对奇函数、偶函数定义的说明:,定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件（前提条件）。,利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：(1)首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；(2)确定f(x)与f(x)的关系；(3)作出相应结论,判断函数的奇偶性,判断下列函数是否具有奇偶性(1)f(x)xx3x5；(2)f(x)x21；(3)f(x)x1；(
2、4)f(x)x2，x1,3分析：先求定义域，再判断f(x)与f(x)的关系,解析：(1)函数f(x)xx3x5的定义域为R.当xR，xR.f(x)xx3x5(xx3x5)f(x)f(x)xx3x5为奇函数,(2)函数f(x)x21的定义域为R，当xR，xR.f(x)(x)21x21f(x)，f(x)x21是偶函数(3)函数f(x)x1的定义域是R，当xR时，xR，f(x)x1(x1)，f(x)(x1)，f(x)f(x)且f(x)f(x)，(xR)f(x)x1既不是奇函数，也不是偶函数(4)因为函数的定义域关于原点不对称，存在31,3，而3 1,3f(x)x2，x1,3既不是偶函数，也不是奇函数
3、点评：定义域关于原点对称是函数具备奇偶性的前提,练习.判断下列函数的奇偶性,(1)(2)(3)(4),说明：根据奇偶性,函数可划分为四类,偶函数 奇函数 既奇又偶函数 非奇非偶函数,题2.已知函数且f(-2)=10，则f(2)等于()A-26 B-18 C-10 D 10,A,1,2.函数f(x),g(x)在区间-a，a(a0）上都是奇函数，则下列结论：f(x)-g(x)在-a,a上是奇函数；f(x)+g(x)在-a,a上是奇函数；f(x)g(x)在-a,a上是偶函数；f(0)+g(0)=0,其中正确的个数是,4,跟踪训练,2偶函数f(x)(xR)满足：f(4)f(1)0，且在区间0,3与3，
4、)上分别递减和递增，使f(x)0的自变量范围是()A(，4)(4，)B(4，1)(1,4)C(，4)(1,0)D(，4)(1,0)(1,4),解析：根据题目条件，想象函数图象如下：答案：B,利用函数的奇偶性求函数的解析式,已知函数f(x)是定义在(，)上的偶函数，当x(，0)时，f(x)xx4，求当x(0，)时，f(x)的表达式解析：当x(0，)时，x(，0)，因为x(，0)时，f(x)xx4，所以f(x)(x)(x)4xx4，因为f(x)是定义在(，)上的偶函数，所以f(x)f(x)，所以f(x)xx4.,跟踪训练,3若f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)x(1x)，求当x0时，
5、函数f(x)的解析式,分析：将x0上，这是解决本题的关键解析：由f(x)是奇函数，当x0时，f(x)f(x)(x)1(x)x(1x)；当x0时，f(0)f(0)f(0)+f(0)=0 2 f(0)=0即f(0)0.当x0时，f(x)x(1x),1利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：(1)首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；(2)确定f(x)与f(x)的关系；(3)作出相应结论2若f(x)f(x)或 f(x)f(x)0，则f(x)是偶函数3若f(x)f(x)或 f(x)f(x)0，则f(x)是奇函数4函数是奇函数或是偶函数称为函数有奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质,5由函数的
6、奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称)6奇函数在其对称区间上的单调性相同、函数值相反7偶函数在其对称区间上的单调性相反、函数值相同8设f(x)，g(x)有公共的定义域，那么在它们的公共定义域上：奇奇奇，奇奇偶，偶偶偶，偶偶偶，奇偶奇,题5.定义在R上的函数f（x）满足：任意x、yR，有f（x+y）=f（x）+f（y），当 x0，f（x）0，f（1）=2.求证：（1）判断函数f（x）的奇偶性；（2）f（x）在R上是减函数;（3）求函数在区间 3，3上的最值.,练习：已知函数f(x)对一切x,y满足f(x+y)=f(x)+f(y)（1）求证：f(x)是奇函数；（2）若f(-3)=a，试用a表示f(12),
