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1、3.1 函数的局部变化率 导数,数学中研究导数、微分及其应用的部分叫做微分学.,牛顿从变速直线运动的瞬时速度出发,莱布尼茨从求曲线上一点处的切线出发,分别得出了导数的概念.,一、求变速直线运动的速度,设一质点作变速直线运动,其运动方程为s=s(t),求该点在t0时刻的瞬时速度v(t0),分析:,1.若质点作匀速直线运动：,2.若质点作变速直线运动：,(1)取一邻近于t0的时刻t,运动时间t,1.1 抽象导数概念的两个现实原型,可把质点在t 间隔内的运动近似看成匀速运动,相应地,s,=s(t)s(t0),=s(t0+t)s(t0),“求增量”,(2)当t 很小时,速度变化不大,t 内的平均速度:
2、,“求增量比”,(3)当t越来越小,平均速度便越来越接近于t0时刻的瞬时速度v0,则当t0时,平均速度的极限就是瞬时速度v0,即,“取极限”,如果割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT,直线MT就称为曲线C在点M处的切线,二、求曲线切线的斜率,如图,极限位置即,|MN|0,NMT0,设M(x0,y0),N(x,y),(1)求增量,给x0一个增量x,自变量由x0变到 x0+x,曲线上点的纵坐标有相应的增量 y=f(x0+x)f(x0),(2)求增量比,即求割线MN的斜率,当x很小时,曲线上点的纵坐标变化不大,可用割线MN的斜率近似代替切线MT的斜率,(3)求极限,当x0时,点N沿曲线C无限趋近于点
3、M,割线MN以切线MT为极限,因而割线斜率的极限就是切线的斜率,即,其中(/2)是切线MT与x轴正向的夹角,割线MN的斜率为,以上两个问题从纯数学的角度来考察,所要解决的数学问题是相同的:求一个变量相对于另一个变量的变化率问题.由这两个具体问题便可抽象出导数的概念.,1.2 导数概念,一、导数的定义二、导数的物理意义和几何意义三、由定义求导数,存在,则称该极限值为f(x)在点x0处的导数,记作f(x0),或,设函数y=f(x)在点x0的某一邻域内有定义,当自变量x在点x0处有增量x(点x0+x仍在该邻域内)时,相应地函数有增量y=f(x0+x)f(x0),如果,或,一、导数的定义,或,如果f(
4、x)在点x0处有导数,则称f(x)在点x0处可导,否则称f(x)在点x0不可导,其他形式:,是自变量从x0到x0+x时函数f(x)的平均变化速度,称为函数的平均变化率,而导数f(x0)是函数在点x0处的变化速度,称为函数f(x)在点x0处的瞬时变化率,关于导数的说明：,(1),可见,导数是平均变化率的极限,(2)如果函数y=f(x)在开区间(a,b)内的每一点 处都可导,则称函数f(x)在区间(a,b)内可导,此时,x(a,b),都对应着f(x)的一个确定的导数,则f(x)是x的函数,称为函数f(x)的导函数,记作y,f(x),或,即,或,显然,二、导数的物理意义和几何意义,物理意义:,变速直
5、线运动物体的瞬时速度,瞬时速度是路程对时间的导数,即,几何意义:,曲线y=f(x)在点x0处的切线斜率,例,解,由导数的几何意义,得切线斜率为,所求切线方程为,法线方程为,三、由定义求导数,步骤:,(1)求增量 y=f(x+x)f(x),(2)求比值,(3)求极限,例1 求函数f(x)=C(C为常数)的导数,解:,=0,即(C)=0,例2 设函数f(x)=sinx,求(sinx)及,解:,=cosx,即(sinx)=cosx,同理可求(cosx)=sinx,例3 求函数y=xn(n为正整数)的导数,解:,=nxn1,即(xn)=nxn1,更一般地(x)=x1(R),例如:,(x1),=(1)x
6、11,例4 求函数y=logax(a0,且a1)的导数,解:,解：,思考与练习,1.函数 在某点 处的导数,区别:,是函数,是数值;,联系:,注意:,有什么区别与联系?,？,与导函数,两者的联系:在某点x0处的导数f(x0),即是导函数f(x)在x0处的函数值,2.设,存在,则,3.已知,则,定义,1.4 左导数和右导数,定理1:,函数y=f(x)在点x0可导函数y=f(x)在点x0处的左、右导数存在且相等,如果f(x)在开区间(a,b)内可导,且f+(a)及f(b)都存在,则f(x)在闭区间a,b上可导.,例1 讨论函数f(x)=|x|在x=0处的可导性,解:,=1,=1,即f(0)f+(0
7、),则函数f(x)在x=0处不可导,如果函数y=f(x)在点x处可导,则f(x)在点x处连续.,定理2:,即 可导则连续,证,设函数f(x)在点x0可导,y=f(x0)x+x,=0,故,函数f(x)在点x0连续,1.5 函数的连续性与可导性之间的关系,注意:该定理的逆定理不成立.,例如,函数f(x)=|x|,但不可导,在x=0处连续,的连续性、可导性,并求出导函数,例1 讨论函数,解:,当x1时f(x)连续,当x=1时,f(x)在x=1也连续,则 f(x)是连续函数,当x1时f(x)可导,当x=1时,当x1时,f(x)=1,当x1时,f(x)=2x,f(1)f+(1),则f(x)在x=1不可导
8、,所求导数为:,可见,对于分段函数的求导问题,可用“分段点”将函数f(x)的定义区间分成几个开区间,在每个开区间分别对f(x)求导,然后在每个“分段点”处用导数定义分别讨论f(x)的可导性,例2 设,讨论f(x)在x=0和x=1处的可导性.,解,所以 y=f(x)在x=1不可导.,所以 y=f(x)在x=0可导，且,我们已经注意到y=f(x)的导数f(x)也是x的函数.,例如 f(x)=6x3+sinx,则f(x)=18x2+cosx,导数f(x)的导数称为f(x)的二阶导数,记作f(x),y或,类似地,二阶导数f(x)的导数称为f(x)的三阶导数,记作f(x),y或,1.6 高阶导数的概念,一般地,y=f(x)的n1阶导数的导数称为y=f(x)的n阶导数.记作f(n)(x),y(n)或,二阶和二阶以上的导数叫做高阶导数.,相应地,f(x)称为一阶导数.,速度v是路程函数s(t)的一阶导数,而加速度a是速度函数v(t)的一阶导数,所以加速度a是路程函数s(t)的二阶导数.,可知,二阶导数的力学意义是运动物体的加速度.,
