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1、2023/10/27,1,二、幂级数的分析性质,2023/10/27,2,逐项积分后所得幂级数与原级数有相同的收敛半径.,注:逐项积分时,运算前后端点处的敛散性可能改变.,2023/10/27,3,逐项微分后所得幂级数与原级数有相同的收敛半径.,注:逐项微分时,运算前后端点处的敛散性可能改变.,2023/10/27,4,(可构造幂级数求数项级数的和),2023/10/27,5,幂级数不仅形式简单，而且有很多良好性质。那么，给出 f(x),是否存在幂级数在其收敛域内以 f(x)为和函数，即：,问题:,1.如果存在,是什么?,2.展开式是否唯一?,3.在什么条件下才能展开成幂级数?,三、函数的幂级
2、数展开,2023/10/27,6,2023/10/27,7,问题,回答是：不一定.,2023/10/27,8,可见,在x=0点任意可导,2023/10/27,9,问题：在什么条件下，任意阶可导的函数可以表示为一个幂级数？,由级数收敛的概念知，若在某区间内，,2023/10/27,10,则，,-f(x)的幂级数展开,2023/10/27,11,2023/10/27,12,其中,(在 x 与 x0 之间),称为拉格朗日余项.,若函数,的某邻域内具有 n+1 阶导数,则在该邻域内有:,回顾第六章第2节，泰勒(Taylor)公式：,2023/10/27,13,其中,称为积分余项.,定理：若函数,的某邻
3、域内具有任意阶导数,则在该邻域内有:,余项的积分表达式,2023/10/27,14,利用积分中值定理可得：,（1）,（2）,-拉格朗日余项,-柯西余项,2023/10/27,15,2.函数展开成幂级数,1.直接法,步骤:,2023/10/27,16,例1,例2,2023/10/27,17,例3,注,2023/10/27,18,2.间接法,根据唯一性,利用常见展开式,通过变量代换,四则运算,恒等变形,逐项求导,逐项积分等方法,求展开式.,例如,2023/10/27,19,2023/10/27,20,例4,P103 7；8；10(1);11(1)；12(1)；14(1)(2),2023/10/27,21,2023/10/27,22,3、幂级数在近似计算中的应用举例,例1,解,2023/10/27,23,2023/10/27,24,第四项,取前三项作为积分的近似值,得,例2,解,收敛的交错级数,2023/10/27,25,常用函数的麦克劳林级数,2023/10/27,26,2023/10/27,27,1.如何求函数的泰勒级数;,2.泰勒级数收敛于函数的条件;,3.函数展开成泰勒级数的方法.,小结,2023/10/27,28,第3节 逼近定理,2023/10/27,29,问题的提出,问题:,2023/10/27,30,定理(魏尔斯特拉斯逼近定理),2023/10/27,31,
