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1、函数的极值与导数(2),函数的极值定义,f(x1)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值=f(x1)；,f(x2)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值=f(x2)；,x1叫极大值点；,x2叫极小值点；,（1）极值即峰谷处的函数值；（2）极大（小）值统称为极值（3）极大（小）值点统称极值点,极值点两侧函数的单调性的特点,极小值，左侧函数递减，右侧递增，所以导数左负右正；极大值，左侧递增，右侧递减，所以导数左正右负；,共性:极值点的导数为0，两侧的导数值异号,（1）函数的极值是个局部概念，在函数的整个定义区间内可能有多个极大值或极小值，也可能没有极值,对极值的多角度认识,（2）函数的极大值不
2、一定比极小值大,f（x1）是极大值，f（x4）是极小值，但是f（x1）f（x4）,(3)极值点是函数定义域内的点，是波峰（谷）的横坐标，函数定义域的端点绝不是函数的极值点,(4)若f(x)在a，b内有极值，那么f(x)在a，b内绝不是单调函数，即在定义域区间上的单调函数没有极值,(5)导数为0的点不一定是极值点,y=x3 在x=0处，虽然导数值为0，但左右导数无变化，故在x=0处无极值,f（x）=x3,f（x）=3x2,导数,增,增,例1 求函数 的极值.,解:,令 解得 或,当 x 变化时,f(x)的变化情况如下表:,+,+,单调递增,单调递减,单调递增,所以,当 x=2 时,f(x)有极大
3、值 28/3;,当 x=2 时,f(x)有极小值 4/3.,定义域为R,故当x=-1时,f(x)有极大值f(-1)=-2;当x=1时,f(x)有极小值f(1)=2.,例2:求函数 的极值.,解:函数的定义域为,令,解得x1=-1,x2=1.,当x变化时,f(x)的变化情况如下表:,例2:求函数 的极值.,1,求解函数极值的一般步骤：（1）确定函数的定义域（2）求方程f(x)=0的根（3）用方程f(x)=0的根，从左至右将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格（3行）（4）根据极值定义，判断极值的情况,小结,练习1:若f(x)=x3+ax+2，在x=1 处有极值，求a的值,a=-3,练习：已知函数 在 处取得极值。（1）求函数 的解析式（2）求函数 的单调区间,练习1:求函数 的极值.,解:,令=0,解得x1=-1,x2=1.,当x变化时,y的变化情况如下表:,因此,当x=-1时有极大值,并且,y极大值=3;而,当x=1时有极小值,并且,y极小值=-3.,有极大值和极小值,求a范围?,练习,解析:f(x)有极大值和极小值 f(x)=0有2实根,已知函数,解得 a6或a3,
