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1、一、函数的连续性,二、函数的间断点,1.8 函数的连续性与间断点,上页,下页,铃,结束,返回,首页,教学内容,一、连续函数的概念,二.函数的间断点,连续函数的运算 及其基本性质,四.初等函数的连续性,教学要求,理解函数在一点连续以及在区间上连续的概念;会判断函数间断点的类型。了解基本初等函数和初等函数的连续性以及闭区间上连续函数的性质（介值定理、最值定理）。,一、连续函数的概念,极限形式,增量形式,设 f(x)在 U(x0)内有定义,若,则称函数 f(x)在点 x0 处是连续的.,1.函数连续性的定义(极限形式),可减弱：x0 为聚点,函数的连续性是一个局部性的概念,是逐点定义的.,定义,是整
2、个邻域,函数 f(x)在点 x0 处连续,应该满足以下三点：,函数 y=x2 在点 x=0 处是否连续?,函数 y=x2 在点 x=0 处连续.,又,且,y=x 2 在 U(0)内有定义,解,证明函数,在x=0处连续,证明：,因为,所以，函数在 x=0 处连续。,2.连续性概念的增量形式,在某过程中,变量 u 的终值 u2 与它的,初值 u1 的差 u2 u1,称为变量 u 在 u1处的,增量,记为 u=u2u1.,定义,设函数 f(x)在 U(x0)内有定义,xU(x0),则称x=x x0 为自变量 x 在 x0 点处的增量.,=f(x0+x)f(x0),y=f(x)f(x0),x,y,O,
3、x0,x,x,y,y=f(x),此时,x=x0+x,相应地,函数在点 x0 点处,有增量 y,连续性概念的增量形式,则称 f(x)在点 x0 处连续.,设 f(x)在 U(x0)内有定义.若,定义,反之,称函数在x0 处间断,且将 x0叫作函数的间断点,于是,连续性的极限形式与增量形式是等价定义,因为,或,故由,可推得,注意 等价定义如下,3.函数的左、右连续性,设函数 f(x)在 x0,x0+)内有定义.若,则称 f(x)在 x0 点处右连续.,设函数 f(x)在(x0,x0 内有定义.若,则称 f(x)在 x0 点处左连续.,其中,为任意常数.,定义,定理,下页,判断下列函数在 x=0 的
4、连续性,因为在 x=0 处无定义,因为,在 x=0 处连续,练习,x,y,y=|x|,O,讨论 y=sgn x 在点 x=0 处的连续性.,sgn x,1,x 0,sgn x|x=0=sgn 0=0,故符号函数 y=sgn x 在点 x=0 处不连续.,0,x=0,1,x 0.,解,讨论函数 f(x)=,x2,x 1,在 x=1 处的连续性.,函数 f(x)在点 x=1 处不连续.,故函数 f(x)在点 x=1 处是左连续的.,x+1,x 1,但由于,解,4.函数在区间上的连续性,设函数 f(x)在开区间(a,b)内有定义.,若 x0(a,b),f(x)在点 x0 处连续,则称 f(x)在开区
5、间(a,b)内连续,记为,f(x)C(a,b).,定义,若 f(x)C(a,b),且 f(x)在 x=a 处,右连续,在端点 x=b 处左连续,则称函数,f(x)在闭区间 a,b 上连续,记为,f(x)C(a,b).,对半开闭区间和无穷区间可类似定义连续性,定义,一般地,如果函数 f(x)在区间 I,上连续,则记为 f(x)C(I).,解,二.函数的间断点,函数 f(x)在点 x0 处连续,应该满足以下三点：,1.函数间断点的定义,满足下述三个条件中的任何一个,则称函数 f(x),在点 x0 处间断,点 x0 称为函数 f(x)的一个间断点：,定义,2.函数间断点的分类,函数的间断点,(1)第
6、一类间断点,若 x0 为函数 f(x)的一个间断点,且,f(x)的第一类间断点.,则称 x0 为函数,定义,在 x=0 处的连续性.,y,x,O,1,y=sinx,yx+1,由图可知,函数在 点 x0 处间断.,故 x=0 是 f(x)的第一类间断点.,将左、右极限存在但不相等的间断点,称为函数的跳跃型间断点.,解,讨论,函数在 x=1 无定义,故 x=1 为函数的第一类间断点.,x=1 为函数的间断点.,y,x,O,1,1,P(1,2),y x+1,进一步分析该间断点的特点.,解,补充定义,则函数 f*(x)在 x=1 连续.,f*(x)=,2 x=1,即定义,这种间断点称为可去间断点.,处
7、函数值后,可得到一个新的连续函数,故将,在且相等,即极限存在,经过补充定义间断点,这个间断点的特点是该处的左、右极限存,第一类间断点,左右极限存在,极限不相等,极限相等、补充定义,(2)第二类间断点,凡不属于第一类的间断点,称为函数的第二类间断点.,这算定义吗？,定义,即左右极限至少有一个不存在的点.,讨论函数,x,y,O,在 x=0 无定义,x=0为函数的间断点,故 x=0为函数,的第二类间断点.,解,在 x=0 处无定义,又,不存在,故 x=0 为函数的第二类间断点.,看看该函数的图形.,解,O,1,1,x,y,第二类间断点,左右极限至少有一个不存在,左右极限至少有一个为无穷,左右极限至少
8、有一个振荡,解,连续函数的运算 及其基本性质,回忆函数极限的四则运算,则,回忆函数极限的四则运算,则,现在怎么说?,1.连续函数的四则运算,设函数 f(x)、g(x),fi(x)在点 x0 处连续,则,即,有限个在点 x0 处连续函数的和仍是一个 在点 x0 处连续的函数.即,(2)有限个在点 x0 处连续的函数之积仍是一个在点 x0 处的连续函数.即,(3)两个在点 x0 处连续函数的商,当分母不为 零时,仍是一个在点 x0 处连续函数.即,四.初等函数的连续性,基本初等函数在其定义域内是连续的.,初等函数在其有定义的区间内连续.,注意两者的区别！,注:所谓定义区间 就是包含在定义域内的区间
9、,求,连续性给极限运算带来很大方便.,解,连续区间：,讨论：,的连续区间,连续区间：,解,1、初等函数在其定义区间上求极限即求该点的 函数值.,2、初等函数求连续区间即求定义区间.,五、闭区间上连续函数的性质,（一）最大值和最小值定理,设 f(x)C(a,b),则,(i)f(x)在 a,b 上为以下四种单调函数时,y=f(x)a,b,y=f(x)a,b,则,则,(ii)y=f(x)为一般的连续函数时,x,y,a,a1,a2,a3,a4,a5,a6,b,ma,mb,y=f(x),O,(最大值和最小值定理),若 f(x)C(a,b),则它在该闭区间,上,至少取到它的最大值和最小值各一次.,定理,若
10、 f(x)C(a,b),则 f(x)在 a,b 上有界.,看图就知道如何证明了.,推论,f(x)在 a,b 上可取到它的最大值 M 和,f(x)C(a,b),故 m f(x)M,xa,b,|f(x)|M*,xa,b,令 M*=max|m|,|M|,则,即 f(x)在 a,b 上有界.,最小值 m,证,（二）.介值定理,a,x,y,y=f(x),f(a),b,f(b),O,f(x)C(a,b),f(a)f(b)0,f()0.,先看一个图,描述一下这个现象,(根存在定理或零点定理),则至少存在一点(a,b),使得 f()0.,设 f(x)C(a,b),且 f(a)f(b)0,定理1,f()=C,下面看看,坐标平移会产生什么效果.,(介值定理),设 f(x)C(a,b),f(a)A,f(b)B,且 A B,则对于 A,B 之间的任意一个数 C,至少存在一点(a,b),使得 f()=C.,定理2,最大、最小值定理,介质定理,？,引入,证明方程 x5 3x=1,在 x=1 与 x=2 之间,令 f(x)=x5 3x 1,x1,2,则 f(x)C(1,2),又 f(1)=3,f(2)=25,f(1)f(2)0,即 方程在 x=1 与 x=2 之间至少有一根.,故 至少存在一个(1,2),使得 f()=0,至少有一根.,证,
