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1、1,第五节,函数的连续性,函数,在点,定义:,在点,的某邻域内,则称函数,(1),在点,即,(2)极限,(3),设函数,连续,存在;,且,有定义,存在;,有定义,在点,必须,连续。,满足,注意：,下列三个条件:,一、,函数连续的概念,2,自变量的增量,函数的增量,函数,在点,连续,连续的,等价定义:,自变量的增量,左连续,右连续,定理：,在,左连续且右连续,3,在点,右连续,在点,左连续,若,在开区间,则称,内连续.,内每一点,都连续,在,若,内连续,在,在点,右连续,在点,左连续,则称,上连续.,在闭区间,例如,在,内连续.,有理分式函数,在其定义域内,连续.,只要,都有,),(,4,例.,
2、在,内连续.,证:,证明函数,当,时,取,这说明,在,内连续.,同样可证:,在,内连续.,函数,在,内连续.,5,在点,在点,(1),(2),不存在;,(3),存在,但,设,在点,的某去心,若有,之一,有定义,有定义,为,在点,无定义;,有定义,则称,邻域内,下列情形,但,且,点,的间断点.,间断点,二、,的分类,),(,注意,定义域的,分界点,可能为,间断点.,使分母,等于,零的点,一定是,间断点.,6,间断点分类:,第一类,及,均存在,若,称,若,称,第二类,及,中至少有,称,振荡,称,若其中,为可去,为跳跃,为无穷,为振荡,不存在,间断点.,间断点.,一个,有一个为,间断点.,若其中,有
3、一个,间断点.,间断点：,间断点：,7,的无穷,的振荡,例如:,间断点.,间断点.,为,为,8,在,无定义;,为,的可去,间断点.,在,连续,9,因为,的可去,(4),间断点.,所以,为,10,(5),因为,的跳跃,间断点.,为,11,课本59页例22,求,的间断点,解:,并判别其类型.,的间断点为,为,x=0,可去间断点,的第一类,跳跃间断点,为,的第一类,为,的第二类,无穷间断点,12,内容小结,左连续,右连续,第一类,可去,跳跃,左右极限,第二类,无穷,振荡,左右极限,在点,间断,在点,连续,的类型,间断点,间断点,都存在,至少有一个,不存在,间断点,间断点,间断点,间断点,13,练习,
4、1.讨论函数,间断点,解:,的类型.,在,x=1,x=2,无定义,所以,x=1,x=2,是,的间断点,可去,间断点.,所以,为,的第一类,无穷,间断点.,所以,为,的第二类,14,2.,间断点的类型.,解,讨论函数,的间断点为,可去,为,的第一类,间断点.,可去,为,的第一类,间断点.,无穷,间断点.,为,的第二类,15,设,3.,问,时,为,连续函数.,解,在,内,为,连续函数.,在,内,为,连续函数.,时,为,连续函数.,16,解:,间断点,求,确定,的类型,无穷,间断点.,为,的第二类,故,时,时,跳跃,为,的第一类,间断点.,课本66页4(4),的不连续点，,间断点,17,课本69页1
5、1,解,研究函数,的连续性，,并画图,时,时,在区间,内连续,18,连续函数的运算,三、,初等函数的连续性,1.,连续函数,的四则运算,定理1.,若,在,都连续，,即,则,在,连续，,在,连续，,在,连续，,当,时,在,连续，,在其定义域内,例如,连续,连续,19,2.,反函数,与复合函数,定理2.,若,的连续性,在,上单调增加,则,其反函数,在,且连续,上单调增加,且连续,减少,减少,例如,在,上,其反函数,单调递增,连续,在,上,也单调递增,连续,在,内,单调递增,连续,其反函数,在,内,也单调递增,连续,20,定理3.,若,复合函数,连续函数,的复合函数,也连续.,在点,连续,(2),在点,连续,在点,连续,(1),则,即,极限运算,与连续函数,可以交换顺序,的运算,例,21,例3.,例4.,求,令,则,解:,原式,特别:,22,基本初等函数,连续函数,连续函数,一切初等函数,在定义域内,连续,经四则运算,其结果,的复合函数,仍连续,在定义区间内,连续,若,是初等函数,在,且,的定义区间内,则,例如,的连续区间为,的连续区间为,的定义域为,因此,而,无连续点,仍连续,一切,23,例6.,解:,求,原式,例7.,求,解:,原式,24,求极限,解法1,原式,解法2,原式,25,练习,
