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1、2.5.1 函数连续性的定义,2.5.2 初等函数的连续性,2.5 函数的连续性,2.5.3 函数的间断点,解,1、,从图象上看，在 处“连续”。,引例 求下列函数在 处的函数值和极限，并作出图像。,图象：,2、,(1,2),从图象上看,在 处“间断”。,图象：,定义1.15设变量从它的初值变到终值，则终值与初值之差就叫做变量的增量，又叫做的改变量，记作，即,2.5.1 函数连续性的定义,增量可以是正的，可以是负的，也可以是零,如果函数在的某个领域内有定义,当自变量在点处有一改变量时，函数的相应改变量则为,例1 已知正方形的边长为(1)当边长 产生了一个 的改变量时，面积 改变了多少？(2)当
2、边长由2m变到2.05m时，面积改变了多少？(3)当边长由2m变到1.95m时，面积改变了多少？,解,当边长变为 时，函数值,即当边长由2m变到2.05m时,面积增加了0.2025(m2),即当边长由2m变到1.95m时,面积减少了0.1975(m2),例2 设，求适合下列条件的函数的改变量(增量).,（2）,（3）,解,（1）,（1）由1变到1.2（2）由1变到0.8（3）由1变到,求函数，当，时的改变量.,解 的初值为1，终值为1.5,练习一,曲线不断,曲线断开,有突变现象,函数 随 的改变而逐渐改变,定义1.16设函数在点的某个领域内有定义，如果当自变量的改变量趋于零时，相应函数的改变量
3、 也趋于零，即,，(1.6.1),例1用定义证明在给定点 处连续,证,，,所以在给定点处连续,，,，(1.6.2),定义1.17设函数在点的某个领域内有定义,如果当时,函数的极限存在，且等于在点处的函数值，即,定义指出了函数在点处连续必须满足条件：,例2、证明函数 在点 处连续,证明一 设自变量 在 处的改变量是，则 相应的改变量,故 函数 在点 处连续,证明二 因函数在 处有定义，且,所以函数 在点 处连续,例3 讨论函数,在 处的连续性，并作出函数的图象。,解 根据定义的三个步骤进行验证：,（1）的定义域是，故 在 及其附近有定义，;,（2）,所以,因此 在 处续。,符合定义的三个步骤。,
4、（3）,在 处连续。,例4 适当选取 的值，使函数,解,（1）的定义域是，在 及其附近有定义，且。,欲使 在 处连续，须有,所以 时，在 处连续。,即，此时,练习二 用定义讨论函数,在 处的连续性并作图。,解：由定义的三个步骤进行验证：,（1）,1,-1,x,y,0,这个等式的成立表明在函数连续的前提下，极限符号与函数符号可以互相交换,例5求,解,，,若函数当时极限存在且等于，即,例6求,解因为，且 在点连续，则,若函数在区间内连续，且，则称 f(x)在闭区间a,b上连续.,定义1.18 如果函数在区间内任何一点都连续，则称 f(x)在区间(a,b)内连续,定理1.4若函数与在点处连续则这两个
5、函数的和、差积、商（当 时）在点处连续,初等函数的连续性,定理1.5设函数在点处连续在点处连续，且，则复合函数,在点 处连续,这样我们求初等函数在其定义区间内某点的极限，只需求初等函数在该点的函数值即可,初等函数在其定义区间内都是连续的,例7 求下列极限：,（1）；,（2）,解(1)因为是初等函数，其定义域 为，而，,(2)因为是初等函数，定义域为，而，,1、,2、,解,解,练习三,3、求,解：设 因为 是初等函数，其定义域为，而 根据初等函数连续性的定理 得到函数在 处连续，,定义1.19如果函数在点不连续，则称为为的一个间断点,2.5.3 函数的间断点,如果在点处有下列三种情况之一则点是的
6、一个间断点,解因为在没有定义，,所以点称为的无穷间断点,所以是的一个间断点,例8考察函数在点处的连续性,例9考察函数,在点 处的连续性,，,即在处左、右极限不相等，由定理1.1知，在处极限不存在所以 是的一个跳跃间断点,例10考察函数,，,在点处的连续性,但是，,所以是的一个间断点，称为可去间断点,例11已知函数,在点处连续，求的值,因为在处连续，则存在，等价于,，,，,即,1.求下列 函数的间断点,（1）,解：为初等函数，在定义域内连续，定义域为 间断点为,练习四,(2),解：不是初等函数，分段点 且,因为 所以，在 处间断。,(3)已知函数，问函数 有无间断点。,解：点 处可能间断，分三步
7、验证。,（1）在 及其附近有定义，且,（2）,不存在,所以，函数 在 处间断。,2、讨论下列函数在给定点处的连续性。,（1）在 处,（2）在 处,解：，,解：,所以，在 处连续,所以，不存在，在 处间断。,定理1.6(最大值和最小值定理)在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值.,注意:1.若区间是开区间,定理不一定成立;2.若区间内有间断点,定理不一定成立.,闭区间上连续函数的性质,例如，函数在开区间内连续而它在 内既无最大值，也无最小值.又如，函数在闭区间 上有一个间断点,该函数在 上既无最大值，也无最小值.,定理1.7若函数在闭区间上连续，和 分别为在上的最小值与最大值，则对介于和 之间的任一实数，至少存在一点，使得,推论若函数在上连续，且与异号，则至少存在一点，使得,几何解释:,
