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1、第一章函数极限连续,第五节函数的连续性,一、连续函数的概念,二、连续函数的基本性质,三、闭区间上连续函数的性质,四、函数间断点及其分类,一、连续函数的概念,定义 1设函数 y=f(x)在 x0 的一个邻域内有定义，,则称函数 y=f(x)在 x0 处连续，或称 x0 为函数 y=f(x)的连续点.,且,记 x=x-x0，且称之为自变量 x 的改变量或增量，,记 y=f(x)-f(x0)或 y=f(x0+x)-f(x)称为函数 y=f(x)在 x0 处的增量.,那么函数 y=f(x)在 x0 处连续也可以叙述为：,定义 2设函数 y=f(x)在 x0 的一个邻域内有定义，,如果,则称函数 y=f
2、(x)在 x0 处连续.,若函数 y=f(x)在点 x0 处有：,则分别称函数 y=f(x)在 x0 处是左连续或右连续.,由此可知，函数 y=f(x)在 x0 处连续的充要条件可表示为：,即函数在某点连续的充要条件为函数在该点处左、右连续,若函数 y=f(x)在开区间 I 内的各点处均连续，,若函数 y=f(x)在闭区间 a,b 上连续，则理解为除在(a,b)内连续外，,在左端点 a 为右连续，在右端点 b 为左连续.,定义 1 表明，函数在某点连续含有三层意思：,它在该点的一个邻域内有定义，极限存在且极限值等于该点处的函数值.,则称该函数在开区间 I 内连续.,例 1证明函数 y=sin
3、x 在其定义域内连续.,证任取 x0(-,+)，则因,y=f(x0+x)-f(x0)=sin(x0+x)-sinx0,这表明 y=sin x 在 x0 处连续，,由于 x0 的任意性可知它在定义域内连续.,例 2,解因为,所以 f(x)在 x=0 处连续.,例 3,证因为,且 f(0)=1，即 f(x)在 x=0 处左，右连续，所以它在 x=0 处连续.,二、连续函数的基本性质,定理 1若函数 f(x)和 g(x)均在 x0 处连续，,则 f(x)+g(x)，f(x)-g(x)，f(x)g(x)在该点亦均连续，,又若 g(x0)0，,故由极限的运算法则可得,因此 f(x)g(x)在 x0 处连
4、续.,证我们仅证明 f(x)g(x)的情形.,因为 f(x)，g(x)在 x0 处连续，,所以有,定理 3若函数 y=f(x)在某区间上单值、单调且连续，,即它们同为递增或同为递减.,则它的反函数 x=f-1(y)在对应的区间上也单值、单调且连续，且它们的单调性相同，,定理 4初等函数在其定义区间内是连续的.,定理 2 设函数 y=f(u)在 u0 处连续，函数 u=(x)在 x0 处连续，且 u0=(x0)，则复合函数 f(x)在 x0 处连续.,例 4,解因为 arcsin(logax)是初等函数，且 x=a 为它的定义区间内的一点，,所以有,例 5,应当先将该函数的分子有理化，,消去为零
5、的因子 x，,再计算极限，,即,一般地，,解 这是一个 型的极限问题.,例 7,解,例 8,解,令 x a t，由 x a，则 t 0.,三、闭区间上连续函数的性质,定理 5若函数 y=f(x)在闭区间a,b上连续,(2)在 a,b 上至少存在一点 x2，,(1)在 a,b 上至少存在一点 x1，,使得对于任何 x a,b，恒有 f(x1)f(x).,使得对于任何 x a,b，恒有 f(x2)f(x).,x1,x2,则,若函数在开区间内连续，,f(x1)，f(x2)分别称为函数 y=f(x)在区间 a,b 上的最大值和最小值，定理 5 又称最大值和最小值存在定理.,如函数 y=x2 在区间(0
6、,1)内就无最大值和最小值.,则它在该区间内未必能取得最大值和最小值，,则它在 a,b内取得介于其最小值和最大值之间的任何数.,定理 6 若 f(x)在 a,b 上连续，,推论若 f(x)在 a,b 上连续，且 f(a)f(b)0，,推论若函数 y=f(x)在闭区间上连续，则它在该区间上有界.,a,b,y=f(x),则至少存在一个 c(a,b)，使得 f(c)=0.,c,例 9证明方程 x3-4x2+1=0 在(0,1)内至少有一个实根.,证设 f(x)=x3-4x2+1，由于它在 0,1 上连续且 f(0)=1 0，f(1)=-2 0，,因此由推论可知，至少存在一点 c(0,1)，使得 f(
7、c)=0.,这表明所给方程在(0,1)内至少有一个实根.,四、函数间断点及其分类,定义设函数 y=f(x)在 x0 的一个邻域有定义(在 x0 可以没有定义)，,则称 x0 是函数 y=f(x)的间断点.也称函数在该点间断.,如果函数 f(x)在点 x0 处不连续，,1.第一类间断点,若 x0 为函数 y=f(x)的间断点，,则称 x0 为 f(x)的第一类间断点.,即左、右极限都存在的间断点为第一类间断点.,例 10 证明 x=0 为函数,证因为该函数在 x=0 处没有定义,所以 x=0 是它的间断点，,又因为,所以 x=0 为该函数的第一类间断点.,例 11证明函数,在 x=0 处是第一类
8、间断点.,因此 x=0 是该函数的第一类间断点.这类间断点又称为可移去间断点.,证,即该函数在 x=0 处的左、右极限存在，,但是由于,因为，如果修改定义 f(0)=1，,所以，左、右极限存在且相等的间断点称为可移去间断点.,在 x=0 连续.,则函数,2.第二类间断点,若 x0 是函数 y=f(x)的间断点，,且在该点至少有一个单侧极限不存在，,则称 x0 为 f(x)的第二类间断点.,故 x=0 是该函数的间断点.,即该函数在 x=0 处的左、右极限都不存在，,所以 x=0 是该函数的第二类间断点.,例如，,例 12证明 x=1 是,的第二类间断点.,证所给函数在 x=1 处没有定义，因此 x=1 是它的间断点，,又因为,因此，x=1 为所给函数的第二类间断点,例 13,解当 x 0 时，,这个表达式由初等函数表示，,所以 f(x)在 x 0 处是连续的，,又,得知 f(x)在 x=0 处连续.,故函数 f(x)在(，)内是连续的.,
