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1、一、第一型曲面积分二、第二型曲面积分三、奥高公式四、斯托克斯公式,第二节 曲面积分,第二型曲面积分,观察以下曲面的侧,曲面分上侧和下侧,曲面分内侧和外侧,1.有向曲面,通常光滑曲面都有两侧.,(假设曲面是光滑的),有两侧的曲面.,规定,(1)双侧曲面,.曲面的分类,法向量的方向来区分曲面的两侧.,(2)单侧曲面,莫比乌斯(Mobius)带.,B、C 粘在一起形成的环,这在双侧曲面上是不能实现的.,它是由一张长方形纸条ABCD,扭转一下,将A、D粘在一起，,行带.,小毛虫在莫比乌斯带上,不通过边界,可以爬到任何一点去.,设所表示的曲面S是双侧曲面，,当以其法线正方向与z轴正向的夹角成锐角,的一侧
2、（上侧）为正侧时，则另一侧（下侧）,为负侧,的外侧为正侧，内侧为负侧,3.正负侧的取法,当S为封闭曲面时，通常规定曲面,设S是有向曲面.,假定,上各点处的法向量与z轴正向的夹角,在有向曲面,取一小块,.有向曲面在坐标面上的投影,取上侧为正侧,1.实例 流向曲面一侧的流量.,二、第二型曲面积分,(2)设稳定流动的流体的速度场由,给出,都在S上连续,求在单位时间内流向S指定侧流体的体积,分割,把曲面S分成 小块,（表示第 小块曲面的面积),S是速度场中的光滑双侧曲面,函数,(流量)。,取近似,法向量为,在 上任取一点,则该点流速为,求和,该点处曲面S的单位法向量,取极限,设函数f(x,y,z)在双
3、侧光滑或者逐片光滑的曲面,块S上有定义，选定曲面S一侧为正，将曲面S,任意分成n个小曲面：将此分法,表为T，用 表示第k个小曲面 的面积，,在xy平面投影的小区域的面积是,在第k个小曲面 上任取一点，,称为函数在曲面S关于xy的积分和。,令,2.定义 设函数在光滑或者逐片光滑,的曲面块S上有定义，若当 时，函数,在曲面S关于xy的积分和存在极限,作和,则称 是f(x,y,z)dxdy在曲面S的第二型,面积微元.,其中dxdy是曲面微元 在xy上投影的,即,曲面积分，表为,如果S是闭曲面，则在S的第二,型曲面积分记为,类似地,设小曲面 在yz平面与zx平面,的投影小区域的面积分别是与,与,第二型曲面积分为,则,在曲面的,3.存在条件,4.组合形式,5.物理意义（求流量，磁通量）,6.性质,定理2 若有光滑曲面S:,其中D是有界闭区域。函数 在曲面S,连续，则函数 在S第二型曲面积分,其中符号“”由曲面s的正侧外法线与z轴,正向的夹角余弦的符号决定。,.第二型曲面积分的计算方法,存在，且,则,若光滑曲面S有参数方程给出,且在D上各点它们的函数行列式,不同时为零，则,解,解,原式=,例计算曲面积分其中是椭球面,的的部分，取椭球面的外,侧为正侧,例计算第二型曲面积分,其中S为,取外侧为正向,的上半部分,
