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1、,一、第一型曲面积分的概念与性质,二、第一型曲面积分的计算法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,14.2.1.第一型曲面积分,一、第一型曲面积分的概念与性质,引例:设曲面形物质具有连续面密度,类似求平面薄板质量的思想,采用,可得,求质,“大化小,常代变,近似和,求极限”,的方法,量 M.,其中,表示 n 小块曲面的直径的,最大值(曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者).,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定义:,设 S为光滑曲面,“乘积和式极限”,都存在,其中 f(x,y,z)叫做被积函数,据此定义,曲面形物质的质量为,曲面面积为,f(x,y,z)是定义在 S 上的一,个有界函数,第一类
2、曲面积分.,若对 S 做任意分割和局部区域任意取点,则称此极限为函数 f(x,y,z)在曲面 S 上的,S叫做积分曲面.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则第一型曲面积分存在.,对积分域的可加性.,则有,线性性质.,在光滑曲面 S上连续,第一型曲面积分与第一型曲线积分性质类似.,积分的存在性.,若 S 是分片光滑的,例如分成两,片光滑曲面,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理:设有光滑曲面,f(x,y,z)在 上连续,存在,且有,二、对面积的曲面积分的计算法,则曲面积分,证明:由定义知,机动 目录 上页 下页 返回 结束,而,(光滑),机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明:,可有类
3、似的公式.,1)如果曲面方程为,2)若曲面为参数方程,只要求出在参数意义下dS,的表达式,也可将对面积的曲面积分转化为对参数的,二重积分.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1.计算曲面积分,其中是球面,被平面,截出的顶部.,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考:,若 是球面,被平行平面 z=h 截,出的上下两部分,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2.计算,其中 是由平面,坐标面所围成的四面体的表面.,解:设,上的部分,则,与,原式=,分别表示 在平面,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3.,设,计算,解:锥面,与上半球面,交线为,为上半球面夹于锥面间的部分,它在
4、xoy 面上的,投影域为,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考:若例3 中被积函数改为,计算结果如何?,例4.求半径为R 的均匀半球壳 的重心.,解:设 的方程为,利用对称性可知重心的坐标,而,用球坐标,思考题:例 3 是否可用球面坐标计算?,例3 目录 上页 下页 返回 结束,例5.计算,解:取球面坐标系,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例6.计算,其中 是球面,利用对称性可知,解:显然球心为,半径为,利用重心公式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例7.计算,其中 是介于平面,之间的圆柱面,分析:若将曲面分为前后(或左右),则,解:取曲
5、面面积元素,两片,则计算较繁.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例8.求椭圆柱面,位于 xoy 面上方及平面,z=y 下方那部分柱面 的侧面积 S.,解:,取,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例9.,设有一颗地球同步轨道通讯卫星,距地面高度,h=36000 km,机动 目录 上页 下页 返回 结束,运行的角速度与地球自转角速度相同,试计算该通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比.,(地球半径 R=6400 km),解:,建立坐标系如图,覆盖曲面 的,半顶角为,利用球坐标系,则,卫星覆盖面积为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,故通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比为,由以上结果可知,卫星覆
6、盖了地球,以上的面积,故使用三颗相隔,角度的通讯卫星就几乎可以覆盖地球,全表面.,说明:此题也可用二重积分求 A(见下册P109 例2).,内容小结,1.定义:,2.计算:设,则,(曲面的其他两种情况类似),注意利用球面坐标、柱面坐标、对称性、重心公式,简化计算的技巧.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,在 xoy 面上的投影域为,这是 的面积!,机动 目录 上页 下页 返回 结束,如图所示,有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,设,一卦限中的部分,则有().,(2000 考研),机动 目录 上页 下页 返回 结束,备用题 1.已知曲面壳,求此曲面壳在平面 z1以上部分 的,的面密度,质量 M.,解:在 xoy 面上的投影为,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.设 是四面体,面,计算,解:在四面体的四个面上,同上,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,
