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1、第7节 第二型线积分和面积分,场的概念对坐标的曲线积分对坐标的曲面积分,(Line integrals and Surface integrals of the Second Type,(Line integrals with respect to x,y,and z),(Surface integrals with respect to coordinate elements,若对全空间或其中某一区域 V 中每一点 M,都有一,个数量(或向量)与之对应,则称在 V 上给定了一个,数量场(或向量场).例如:温度和密度都是数量场,M 的位置可由坐标确定.因此给定了某个数量场就,总是设它对每个变量
2、都有一阶连续偏导数.同理,每,重力和速度都是向量场.在引进了直角坐标系后,点,场的概念,个向量场都与某个向量函数,并假定它们有一阶连续偏导数.,如,设一个质点在,处受,点 O 的距离成正比,与OM 垂直且与 y 轴夹锐角,则,磁力线等都是向量场线.,注 场的性质是它本身的属性,和坐标系的引进无关.,引入或选择某种坐标系是为了便于通过数学方法来,进行计算和研究它的性质.,则称曲线 L 为向量场 的向量场线.例如电力线、,设 L 为向量场中一条曲线.若 L 上每点 M 处的切线,方向都与向量函数 在该点的方向一致,即,梯度场,我们已经介绍了梯度的概念,它,方向上的方向导数.,grad u 是由数量
3、场 u 派生出来的一个向量场,称为,是由数量函数 所定义的向量函数,正交.,当把它作为运算符号来看待时,梯度可写作,引进符号向量,解,例1 设质量为 m 的质点位于原点,质量为 1 的质点,它表示两质点间的引力,方向朝着原点,大小与质量,的乘积成正比,与两点间距离的平方成反比.,为引力势(gravitational potential).,对坐标的曲线积分,1 第二类曲线积分的概念,2 两类曲线积分的联系,3 第二类曲线积分的计算,向量函数,其大小和方向都随点M变化,有向曲线,指定了方向的曲线.,通常指出起点，终点来表明.,是向量,预备知识,第二型曲线积分的概念,1.问题的提出 变力沿曲线所作
4、的功,求变力 对质点所作的功W.,设一质点在变力 作用下,从点A,点B,常力沿直线所作的功,处理办法,分割,近似代替,取极限,求和,（1）分割,（2）近似代替,(3)求和,（4）取极限,2.定义,存在,称此极限为向量,若,在有向曲线 上的第二类曲线积分,函数,(坐标形式),(向量形式),或对坐标的曲线积分,(与分法和点的取法无关！)，,第二类曲线积分（向量形式）,第二类曲线积分（坐标形式）,积分路径,被积函数,单独形式,称为对坐标 x 的曲线积分;,称为对坐标 y的曲线积分.,由定义，变力沿曲线所作的功,3.性质,注,第二类曲线积分必须注意积分路径的方向!,两类曲线积分的联系,类似地,在空间曲
5、线 上的两类曲线积分的联系是,其中,简记为,简记为,定理1,一定存在,且,例,将积分,化为对弧长的积,分,解,其中C 沿上半圆周,例,将积分,化为对弧长的积,分,解法2,其中C 沿上半圆周,解,化为定积分,a,b,将积分,化为定积分,定理设,上连续，则,第二类曲线积分的计算,计算定积分,求曲线积分,当t由ab时，对应的点M(x,y)从起点A运动到终点B 描出曲线,为端点的区间上连续，,注,a,b,例2 计算,其中,(1),(2),(3),解(1),(2),(3),被积函数相同，起点和终点相同，但是路径不同，积分结果相同。,例3 计算曲线积分,解,例4 设曲线G:,从 ox 轴正向看去为逆时针方
6、向,求曲线积分,解,例5 设一个质点在,处受力 的作用,已知,的方向指向坐标原点,其大小与作用点到 xoy 面的,距离成反比.,此质点由点,沿直线移动到,解,思考题,思考题解答,曲线方向由参数的变化方向而定.,练 习 题,练习题答案,回顾:常力沿直线所作的功,若改变运动方向，即从点B到点A所作的功,有向曲线,指定了方向的曲线.,通常指出起点，终点来表明.,与从点A到点B所作的功大小相等，但符号相反.,向量函数,在平面区域D（或空间区域）中,其大小和方向都随点M变化而变化,若M，,如,设一个质点在,处受,点 O 的距离成正比,与OM 垂直且与 y 轴夹锐角,则,一个向量与之对应，,即,其坐标为（x,y,z）,则,每一点M处都有,
