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1、有理数,利用已有的知识，灵活熟练地运用数的四则运算法则和有关公式，学会巧算的方法。,学习目标：,分析：这个算式中的分母均是99，分子依次是1到296，而1+296=297，而297恰好是99的3倍，可以看出，算式中的首末两项或与首末两项等距离的两项之和为399，并且这样的和只有296/2个。,一、巧用运算律：,例1.计算：1/99+2/99+3/99+296/99,解：1/99+2/99+3/99+296/99=（1/99+296/99）+（2/99+259/99）+（148/99+149/99）=3X148=444,解：设S=5+8+11+14+17+32 反过来写S=32+29+26+5
2、2S=(5+32)+(8+29)+(32+5)=37X10=370所以S=185,例2：5+8+11+14+17+32,二、倒写相加,分析：可利用“倒写相加”的方法来计算上式的和,观察上例我们发现：它的每两个相邻的加数的差相等，一般地，给出一列数a1、a2、a3an(其中a1称为首项，an称为末项)，如果从第二项开始，后项与前项的差都相等，那么就称这列数a1、a2an为等差数列，这个差用d来表示。即d=a2-a1=a3-a2=an-an-1d叫公差，n为项数 如何来推算等差数列a1、a2an的和呢？,例2：5+8+11+14+17+32,设S=a1+a2+an反过来写，则s=an+an-1+a
3、1两式相加得：2S=(a1+an)+(a2+an-1)+(an+a1)由于a1+an=a2+an-1=an+a1因为2S=(a1+an)n所以S=(a1+an)/2n,例3.利用等差数列求和公式计算：,分析：这里a1=1，an=1991，d=3-1=2，n=996,1+3+5+1991,解：设S=1+3+32+32014(1)则3S=3+32+32015(2)（2）-(1)得：3S-S=(3+32+32015)-(1+3+32+32014）2S=32015-1所以S=32015-1/2,三、先乘后减,例4：求 1+3+32+32014的值。,分析：和式中从第二项起，相邻的后一项与前一项的比都是
4、3，如先用3乘以和式两边，然后与原式对应相减，即可得解。,解：原式=(90+900+9000+90000+900000)-5=999990-5=999985,四、凑数与分拆：,例5.计算89+899+8999+89999+899999,分析：观察各数的特征：都是由8和9组成，只要将第一个数加上1就凑成90，第二个数加上1就凑成900，再求和即可。,分析：,证明：,分析：算式中的每一项“分拆”成正负两项，利用“正负相消”的方法计算。,解：,人类的祖先经过长期的实践，在数的范围内确定了一些运算符号及法则：如加（+）、减（）、乘（）、除（），这使数学更加简明。然而，这些符号都是“公认的”，其实，除了
5、四则运算以外，还可以有一些新的符号，让它代表新的运算，这就是定义新运算。,我们定义的这种新运算，其运算结果应该是等于参加运算的第一个数加上第二个数的2倍的和与3的商。若a=2，b=3,五、定义新运算,在数学竞赛中，常常会遇到这种题。,解：,解：,解：原式,六、一些运算技巧(1、凑整）,例1.计算：,例2.计算：,解：原式,2、整数、分数分离,例3.计算,解：原式,例4.计算：,分析：因为,3、逆用分配律,4、倒数求值,解：原式,5.、零因式定值,分析：解答时切忌从左至右按顺序运算，因为,解：原式,例5.计算：,例6.计算,解：原式,本课小结：1.本课主要讲解了一些关于有理数计算技巧方面的知识，希望同学们在课后能多做习题，理解并能熟练应用这些技巧，特别是关于等差、等比数列的求和方法。2.本课最后讲解了一些关于定义新运算的内容，希望同学们多理解这类题目，它对整个数学中关于抽象数学的理解是很有帮助的。,【对应训练】1.填空题：,。,6,（3）计算：,2.计算：,【试题答案】,填空（3）题,2.计算：,解：显然a=1，b=2,解：,
