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1、这一部分是向量的核心内容，高考的一个命题点，填空题、选择题重在考查数量积的概念、运算律、性质、向量平行、垂直、向量的夹角、距离等，解答题重在与几何、三角、代数等结合的综合题.,1.平面向量的数量积 已知两个非零向量a和b,则 叫做a与b的数量积(或内积),记作.规定:零向量与任一向量的数量积为.两个非零向量a与b垂直的充要条件是,两个非零向量a与b平行的充要条件是.,|a|b|cos,ab=|a|b|cos,0,ab=0,ab=|a|b|,2.平面向量数量积的几何意义 数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影 的乘积.3.平面向量数量积的重要性质(1)ea=ae=;(2)非零向量a,
2、b,ab;(3)当a与b同向时,ab=;当a与b反向时,ab=,aa=,|a|=;,|b|cos,|a|cos,ab=0,|a|b|,-|a|b|,a2,(4)cos=;(5)|ab|a|b|.4.平面向量数量积满足的运算律(1)ab=(交换律);(2)(a)b=(为实数);(3)(a+b)c=.,ba,ab,ab,ac+bc,5.平面向量数量积有关性质的坐标表示(1)设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab=,由此得到:若a=(x,y),则|a|2=或|a|=.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),则A,B两点间的距离|AB|=|AB|=.(3)设a=(x1,y1),b=(
3、x2,y2),则ab.,x1x2+y1y2=0,x1x2+y1y2,x2+y2,已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,a与b的夹角为60,则|a-b|=.,【分析】求|a-b|可先求|a-b|2.,考点1 数量积的计算,【解析】|a-b|=,【评析】求平面向量数量积的步骤:首先求a与b的夹角为,0,180,再分别求|a|,|b|,然后再求数量积即ab=|a|b|cos,若知道向量的坐标 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab=x1x2+y1y2.,已知向量a=(cos x,sin x),b=(cos,-sin),且x-,.(1)求ab及|a+b|;(2)若f(x)=ab-|a+b|
4、,求f(x)的最大值和最小值.,【解析】(1)ab=cos xcos-sin xsin=cos2x,a+b=(cos x+cos,sin x sin),x,cosx0,|a+b|=2cosx.,(2)由（1）可得f(x)=cos2x-2cosx=2cos2x-2cosx-1=2(cosx-)2-.x,cosx1,当cosx=时,f(x)取得最小值为-;当cosx=1时,f(x)取得最大值为-1.,设向量a,b,c满足a+b+c=0,(a-b)c,ab.若|a|=1,则|a|2+|b|2+|c|2的值是.,【分析】由垂直的充要条件,寻找|a|,|b|,|c|之间的关系.,考点2 利用向量解决垂直
5、问题,【解析】ab,b=-a-c,ab=a(-a-c)=-|a|2-ac=0,ac=-|a|2=-1.又(a-b)c,(a-b)c=0,ac=bc=-1.a=-b-c,|a|2=|b|2+|c|2+2bc,|b|2+|c|2=|a|2-2bc=3,|a|2+|b|2+|c|2=4.,【评析】垂直问题是一个重要的知识点,在高考题中常常出现,常与向量的模、向量的坐标表示等联系在一起，要特别注意垂直与平行的区别.若a=(a1,a2),b=(b1,b2),则ab a1a2+b1b2=0,ab a1b2-a2b1=0.,已知a=(cos,sin),b=(cos,sin)(0).(1)求证:a+b与a-b
6、互相垂直;(2)若ka+b与a-kb的模相等,求-(其中k为非零实数).,(1)证明:(a+b)(a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2=(cos2+sin2)-(cos2+sin2)=0,a+b与a-b互相垂直.(2)ka+b=(kcos+cos,ksin+sin),a-kb=(cos-kcos,sin-ksin),|ka+b|=,|a-kb|=.|ka+b|=|a-kb|,2kcos(-)=-2kcos(-).又k0,cos(-)=0.而0,-=.,已知|a|=1,ab=,(a-b)(a+b)=,求：（1）a与b的夹角；（2）a-b与a+b的夹角的余弦值.,【分析】(1)由(a-b)和(
7、a+b)的数量积可得出|a|,|b|的关系.(2)计算a-b和a+b的模.,考点3 利用向量解决夹角问题,【解析】(1)(a-b)(a+b)=,|a|2-|b|2=,又|a|=1,|b|=.设a与b的夹角为,则cos=,又0,=.,(2)(a-b)2=a2-2ab+b2=1-2+=,|a-b|=.(a+b)2=a2+2ab+b2=1+2+=,|a+b|=，设a-b与a+b的夹角为,则cos=.,【评析】公式cos=可求a,b的夹角及夹角取值的范围，应用时，要注意y=cosx在x0,上的单调性.,已知|a|=,|b|=1,a与b的夹角为45,求使向量(2a+b)与(a-3b)的夹角是锐角的的取值
8、范围.,由|a|=,|b|=1,a与b的夹角为45,得ab=|a|b|cos45=1=1,(2a+b)(a-3b)=2a2-6ab+2ab-3b2=2+-6.设向量(2a+b)与(a-3b)的夹角为,则 且cos1,由(2a+b)(a-3b)0得2+-60,2或0),2=k=-3k,故使向量2a+b和a-3b夹角为0的不存在.当2或-3时,向量(2a+b)与(a-3b)的夹角是锐角.,解得k2=-.,1.公式ab=|a|b|cos,ab=x1x2+y1y2,|a|2=a2=x2+y2的关系非常密切，必须能够灵活、综合运用.2.ab x1y2-x2y1=0与abx1x2+y1y2=0要区分清楚.
9、3.要特别注意：向量的数量积运算不满足结合律,即(ab)ca(bc)，但满足交换律和分配律：ab=ba,(a+b)c=ac+bc.,1.数量积ab中间的符号“”不能省略，也不能用“”来替代.2.要熟练类似(a+b)(sa+tb)=sa2+(t+s)ab+tb2的运算律(,s,tR).3.求向量模的常用方法:利用公式|a|2=a2,将模的运算转化为向量的数量积的运算.,4.零向量:(1)0与实数0的区别,不可写错:0a=00,a+(-a)=00,a0=00;(2)0的方向是任意的,并非没有方向,0与任何向量平行,我们只定义了非零向量的垂直关系.5.向量夹角的概念要领会,比如正三角形ABC中,应为120,而不是60.,祝同学们学习上天天有进步！,
