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1、引入向量的坐标后，使向量之间的运算代数化，更加容易进行，高考常常考查向量之间各种坐标运算，处理向量的平行，以及作为工具解决与之有关的几何、三角等知识.,1.两个向量的夹角(1)定义 已知两个 向量a和b，作 OA=a,OB=b，则AOB=叫做向量a与b的夹角(如图).,非零,(2)范围 向量夹角的范围是,a与b同向时,夹角=;a与b反向时,夹角=.(3)向量垂直 如果向量a与b的夹角是,则a与b垂直,记作.2.平面向量基本定理及坐标表示(1)平面向量基本定理 如果e1,e2是同一平面内的两个 向量,那么对于平,0180,0,180,90,ab,不平行,面内的任意向量a,有且只有一对实数1,2,
2、使a=.其中,不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组.(2)平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个 的向量,叫做把向量正交分解.(3)平面向量的坐标表示,1e1+2e2,基底,互相垂直,在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底.对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数 x,y，使得 a=xi+yj.把有序数对 叫做向量a的坐标,记作a=,其中 叫做a在x 轴上的坐标,叫做a在y轴上的坐标.设OA=xi+yj,则 就是终点A的坐标,即若OA=(x,y),则A点坐标为,反之亦成立(O是坐标原点).3.平面向量的坐标运算(1)加法、减法、数乘运算,
3、(x,y),(x,y),(x,y),向量OA的坐标(x,y),x,y,(2)向量坐标的求法 已知A(x1,y1),B(x2,y2),则AB=（x2-x1,y2-y1)，即一个向量的坐标等于该向量的 坐标减去 的坐标.(3)平面向量共线的坐标表示 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b0,则a与b共线a=.,x1y2-x2y1=0,终点,始点,b,如右图，在ABC中，点M是边BC的中点，点N在边AC上，且AN=2NC.AM与BN相交于点P，求AP:PM的值.,【分析】本题可先利用平面向量基本定理设出，然后利用共线向量的条件列出方程组，从而确定参 数的值.,考点1 平面向量基本定理的应用
4、,【解析】设BM=e1,CN=e2,则AM=AC+CM=-3e2-e1,BN=BC+CN=2e1+e2.A,P,M和B,P,N分别共线,存在实数,使AP=AM=-e1-3e2,BP=BN=2e1+e2,故BA=BP-AP=(+2)e1+(3+)e2.而BA=BC+CA=2e1+3e2,+2=2=3+=3,=.故AP=AM,即AP:PM=4:1.,由基本定理，得,解得,【评析】（1）充分挖掘题目中的有利条件，本题中两次使用三点共线.注意方程思想的应用.（2）用基底表示向量也是用向量解决问题的基础.应根据条件灵活应用，熟练掌握.,【解析】,【分析】利用向量的坐标运算解题.,考点2 平面向量的坐标运
5、算,设向量a=(1,0),b=(,),则下列结论中正确的是()A.|a|=|b|B.ab=C.a-b与b垂直 D.ab,【解析】A项,|a|=1,|a|b|,A项错;B项,ab=1+0=,B项错;C项,(a-b)b=ab-|b|2=0,故C项正确.故应选C.,【评析】利用平面向量的坐标运算分别判断四个选项的正误.,已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4).设AB=a,BC=b,CA=c,且CM=3c,CN=-2b.(1)3a+b-3c=_;(2)向量MN的坐标为_.,【解析】由已知得a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8).(1)3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,
6、-3)-3(1,8)=(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42).,(2)CM=OM-OC=3c,OM=3c+OC=(3,24)+(-3,-4)=(0,20).M(0,20).又CN=ON-OC=-2b,ON=-2b+OC=(12,6)+(-3,-4)=(9,2),N(9,2).MN=(9,-18).,平面内给定三个向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1).若(a+kc)(2b-a),求实数k.,【分析】(1)由两向量平行及两向量平行的条件得出关于k的方程,从而求出实数k的值.,考点3 平行(共线)向量的坐标运算,【解析】(a+kc)(2b-a),又a+kc=(3+4k,2
7、+k),2b-a=(-5,2),2(3+4k)-(-5)(2+k)=0,k=-.,【评析】向量平行的坐标公式实质是把向量问题转化为实数的运算问题.,已知向量a=(1,2),b=(x,1),u=a+2b,v=2a-b,且uv,则实数x的值为_.,因为a=(1,2),b=(x,1),u=a+2b,v=2a-b,所以u=(1,2)+2(x,1)=(2x+1,4),v=2(1,2)-(x,1)=(2-x,3).又因为uv,所以3(2x+1)-4(2-x)=0,即10 x=5,解得x=.,1.建立平面向量的坐标，基础是平面向量基本定理.因此，对所给向量应会根据条件在x轴和y轴进行分解，求出其坐标.2.已知向量的始点和终点坐标,求向量的坐标时,一定要搞清方向，用对应的终点坐标减始点坐标.,1.要区分点的坐标与向量的坐标,尽管在形式上它们完全一样,但意义完全不同,向量的坐标中同样有方向与大小的信息.2.在处理分点问题比如碰到条件“若P是线段AB的分点，且|PA|=2|PB|”时，P可能是AB的内分点，也可能是AB的外分点，即可能的结论有：AP=2PB或AP=-2PB.3.数学上的向量是自由向量,向量x=(a,b)经过平移后得到的向量的坐标仍是(a,b).,祝同学们学习上天天有进步！,
