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1、二面角,他山中学 任城勇,一个平面内的一条直线把这个平面分成两个部分，其中的每一部分都叫做半平面。,一条直线上的一个点把这条直线分成两个部分，其中的每一部分都叫做射线。,2,O,B,A,A,B,从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。,这条直线叫做二面角的棱。,这两个半平面叫做二面角的面。,3,定义:,二面角AB,二面角 l,二面角CAB D,5,AOB,表示方法：,A,B,A1,B1,A O B,A1O1B1,以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。,平面角是直角的二面角叫做直二面角,9,二面角的大小用它的平面角来度量
2、,度量：,二面角的平面角必须满足：,以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。,10,二面角的计算：,1、找到或作出二面角的平面角,2、证明 1中的角就是所求的角,3、计算出此角的大小,一“作”二“证”三“计算”,16,.如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，二面角C1-BD-C的正切值是_.,练习,.在二面角-l-的一个平面内有一条直线AB，它与棱 l 所成的角为45，与平面所成的角为30，则这个二面角的大小是_.,练习,3、在二面角-a-内，过a作一个半平面，使二面角-a-=45，二面角-a-=30，则内的任意一点P到平面与平
3、面的距离之比为,练习,(2)垂线法,(1)垂面法,(3)射影法,垂面法(定义法),定义法:根据定义,找到二面角的棱垂面即可得平面角,解三角形求其大小.,在正方体AC1中，求二面角D1ACD的大小？,ABC中,ABBC,SA 平面ABC,DE垂直平分SC,又SA=AB,SB=BC,求二面角E-BD-C的大小?,垂线法(三垂线定理或逆定理),垂连求角,三垂线法:首先找其中一个半平面的垂线,找不到垂线找垂面(指其中一个半平面的垂面),找到垂面作垂线,构造三垂线定理或逆定理条件得平面角.,三棱锥P-ABC中，PA 平面ABC，PA=3，AC=4，PB=PC=BC,（1）求二面角A-PC-B的大小,CO
4、S=,四棱锥P-ABCD的底面是边长为4的正方形，PD面ABCD，PD=6，M,N是PB,AB的中点，求二面角M-DN-C的平面角的正切值？,如图，三棱锥P-ABC中，面PBC面ABC，PBC是边长为a的正三角形，ACB=90，BAC=30，BM=MC,A,B,C,D,射影法,是不找平面角求二面角的一种方法:,A,B,C,A,M,已知：如图ABC的顶点A在平面M上的射影为点A，ABC的面积是S，ABC的面积是S，设二面角A-BC-A为,求证：COS=S S,在正方体AC1中，E,F分别是中点,求截面A1ECF和底面ABCD所成的锐二面角的大小,E,F,在正方体AC1中，E,F分别是中点,求截面
5、A1ECF和底面ABCD所成的锐二面角的大小,E,F,过正方形ABCD的顶点A引SA底面ABCD，并使平面SBC，SCD都与底面ABCD成45度角，(1)求二面角BSCD的大小？(2)求面SCD与面SAB所成的二面角,一题多解：,射影面积法,法向量法,三、面面角：,二面角的范围：,法向量法,注意法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角；同进同出，二面角等于法向量夹角的补角,设平面,将二面角转化为二面角的两个面的方向向量（在二面角的面内且垂直于二面角的棱）的夹角。如图，设二面角 的大小为，其中,D,C,B,A,三、面面角：,方向向量法：,二面角的范围：,例、已知在一个二面角的棱上有两个点A，
6、B，线段AC，BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB，AB=4cm，AC=6cm，BD=8cm，CD=,cm，求二面角的度数,例.正三棱柱 中，D是AC的中点，当 时，求二面角 的余弦值。,故,则可设=1，则B(0,1,0),作 于E,于F，则 即为二面角 的大小,在 中，,由于 且，所以,在 中，同理可求,即二面角 的余弦值为,解法二（法向量）同法一，以C为原点建立空间直角坐标系 C-xyz,在坐标平面yoz中,设面 的一个法向量为,同法一，可求 B(0,1,0),由 得,解得,所以，可取,二面角 的大小等于,即二面角 的余弦值为,证明：以 为正交基底，建立空间直角坐标系如图。则可得,例.已知正方体 的边长为2，O为AC和BD的交点，M为 的中点（1）求证：直线 面MAC;（2）求二面角 的余弦值.,设平面,小结：,1.异面直线所成角：,2.直线与平面所成角：,D,C,B,A,3.二面角：,一进一出，二面角等于法向量的夹角；同进同出，二面角等于法向量夹角的补角。,
