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1、平面向量的数量积的物理背景及其含义,向量的夹角,复习回顾,问题：如果我们将公式中的力与位移类比推广到两个一般向量，其结果又该如何表述？,两个向量的大小及其夹角余弦的乘积。,功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积；,平面向量的数量积的定义,说明：,问题3：向量的数量积运算与实数同向量积的线性运算的结果有什么不同？,实数同向量积的线性运算的结果是向量两向量的数量积是一个实数，是一个数量,问题4：影响数量积大小的因素有哪些？,这个数值的大小不仅和向量与的模有关，还和它们的夹角有关。,正,负,0,数量积符号由cos的符号所决定,平面向量的数量积的运算性质,问题5：设a与b都是非零向量，若ab，则ab等于
2、多少？反之成立吗？,ab ab0,问题6：当a与b同向时，ab等于什么？当a与b反向时，ab等于什么？特别地，aa等于什么？,当a与b同向时，abab；当a与b反向时，abab；aaa2a2或a.,问题7：ab与ab的大小关系如何？为什么？,abab,问题8：对于向量a，b，如何求它们的夹角？,（）a b|a|b|.,（）ab a b=0.,(判断两向量垂直的依据),特别地，,（）当a与b同向时，ab|a|b|；,当a与b反向时，ab|a|b|.,（）,平面向量的数量积的运算性质,设向量a、b为两非零向量，e是与b同向的单位向量：,练习:,平面向量数量积的几何意义,投影一定是正数吗？,说明：,
3、（2）投影也是一个数量，不是向量。,（1）,练一练：,类比实数的乘法运算律：,数量积的运算律：,关于向量的数量积运算：,平面向量的数量积运算律,数量积运算不满足乘法结合律。,交换律：,分配律：,问题:我们学过了实数乘法的哪些运算律？这些 运算律对向量是否也适用？,如图可知：,判断下列命题或等式的正确与否,若b0，ab=0，则a=0,若ab=bc，(b0)，则a=c,（a b）c=a（b c）,错误,错误,错误,利用平面向量数量积求解长度问题,变式：,利用平面向量数量积求解夹角问题,一.辨析,1若a=0，则对任一向量b，有a b=0,2若a 0，则对任一非零向量b,有a b0,3若a 0，a b
4、=0，则b=0.,4若a b=0，则a,b中至少有一个为0,.对任意向量 a 有.(a a 常记作a2),练习:,小结,1.向量的数量积是一种向量的乘法运算，它与向量的加法、减法、数乘运算一样，也有明显的物理背景和几何意义，同时还有一系列的运算性质，但与向量的线性运算不同的是，数量积的运算结果是数量而不是向量.,2.实数的运算性质与向量的运算性质不完全一致，应用时不要似是而非.,3.常用a 求向量的模.常用求向量的夹角.,2.4.1 平面向量的数量积的物理背景及其含义,一、平面向量数量积的定义:,已知两个非零向量 和，它们的夹角为,我们把数量 叫做 与 的数量积(或内积),记作.,规定：零向量
5、与任意向量的数量积为0,向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负？,探究：,当090时 ab 0,当90180时 ab 0,当=90时 ab=0,二、投影:,叫做向量 在 方向上(向量 在 方向上)的投影.,向量 在方向 上的投影是数量,不是向量,什么时候为正，什么时候为负？,探究：,三、平面向量数量积的几何意义:,四、平面向量数量积的运算率:,(1)交换律：,(2)数乘结合律：,(3)分配律：,数量积不满足结合律和消去率,注意:,结论:,金榜,平面向量数量积的重要性质:,判断两个向量垂直的依据,求向量模的依据,求向量夹角的依据,平面向量数量积的重要性质:,已知，你能得出 的坐标吗？,思考:,结论,自学例5，例6,一、利用向量的垂直解题:,例1:,例2:,二、利用 求模:,解：,例3:,三、利用 求夹角:,例3:,三、利用 求夹角:,解：,【总一总成竹在胸】,公式变形,对功W=|F|s|cos结构分析,抽象,特殊化,重要性质,数形,结合,几何意义,预习提纲:,(1)如何用坐标表示平面向量数量积;(2)如何运用平面向量数量积的坐标表示解决有关长度、角度及垂直问题.,
