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1、第9篇 趣味方格-格点与面积,背景介绍,皮克，18591943年，奥地利数学家。,“皮克定理”被誉为有史以来“最重要100个数学定理”之一。,1889年发现了格点与面积存在着一种非常有趣的关系。如果格点多边形的面积为S，内部格点数为N，边上的格点数为L，那么他们之间存在如下关系：S=1/2L+N-1.该公式被称为“皮克定理”。,第一层：皮克定理,自主探索：,下面多边形的面积是多少(面积单位）？,数一数，图形内部有几个点（n）？图形边界上有几个点（m）？,解：由格点图形面积公式,得,巩固拓展：,如下图，计算下列各个格点多边形的面积。,16,15,10,解：第（1）图是正方形，边长是4，所以面积是
2、44=16（面积单位）,第（2）图是矩形，长是5，宽是3，所以面积是53=15（面积单位）,第（3）图是三角形，底是5，高是4，所以面积是542=10（面积单位）,15,12,18,第（4）图是平行四边形，底是5，高是3，所以面积是53=15（面积单位）。,第（5）图是直角梯形，上底是3，下底是5，高是3，所以面积是(3+5)32=12（面积单位）。,第（6）图是梯形，上底是3，下底是6，高是4，所以面积是(3+6)42=18（面积单位）。,2、求下列各多边形的面积，并统计图形边上格点数及图形内包含的格点数。,(1),(2),（1）15解：此题不能直接由公式来求，因为这个多边形不是凸多边形=1
3、5,（2）20解：由格点面积公式，得：n=16，m=10，,(3),(4),（3）14解：由格点面积公式，得：n=12，m=6，,（4）17解：由格点面积公式，得：n=13，m=10，,3、方格纸（图）上有一只小虫，从直线AB上的一点O出发，沿方格纸上的横线或竖线爬行。方格纸上每小段的长为一厘米。小虫爬过若干小段后仍然在直线AB上，但不一定回到O点。如果小虫一共爬行2厘米，那么小虫的爬行路线有几种？如果小虫一共爬行3厘米，那么小虫爬行的路线有几种？,（2）小虫爬过3厘米，可有20种路线，分别是：上，左，下；上，右，下；下，左，上；下，右，上；上，下，左；上，下，右；下，上，左；下，上，右。（以
4、上8种都是先“上”或先“下”。）如果第一步为“左”或“右”，那么转化为第（1）题，各有6种路线。一共是8+62=20（种）。,6，20解：为了方便，下面叙述中省去“上、下、左、右”4个字前面的“向”。（1）小虫爬过2厘米，可有以下6种路线，分别是：左，右；右，左；上，下；下，上；左，左；右，右。（以上前4种路线均回到O点）。,第二层：凹多边形,自主探索：,下图是一个1010的正方形，求正方形内的四边形的面积是多少？,E,A,D,C,B,因为ABCD不是凸四边形，所以如在原题图上取格点E，则三角形BCE 及四边形AECD就都是凸的图形了。,请把自己的想法说给同学听听。,解：因为不是凸四边形，所以
5、如在原题图上取格点，则三角形及四边形都是凸的图形，故：(4+62-1)+(21+82-1)=30(面积单位),试一试：,下图中每个小正方形的面积都是4平方厘米，求图中阴影部分面积。,格点中的图形分别为凸多边形和凹多边形要设法转化为凸多边形并利用公式计算。,巩固拓展：,1、在一个96的长方形内，有一个凸四边形（如图），先用毕克定理先求出它的面积，再用拼割方法计算它的面积，看两者是否一致。,G,D,E,H,A,B,F,解：由毕克定理得：25+72-1=27.5(面积单位)。,用拼割方法得：的面积=长方形的面积-四角上的四个三角形的面积=96-(622+332+432+452)=54(6+4.5+6
6、+10)=27.5(面积单位),2、下图中每个小正方形的面积都是1，那么图中这只“狗”多占的面积是几？,解：图形内部格点数为59，图形周界上格点数为19。所以图形的面积为：59+192-1=67.5(面积单位)。,3、下图中的正方形被分成9个相同的小正方形，它们一共有16个顶点（共同的顶点算一个），以其中不在一条直线上的3个点为顶点，可以构成三角形。在这三角形中，与阴影三角形有同样大小面积的有多少个？,与阴影三角形面积相同的三角形有：8+8+8+8+8+8=48(个)。,第三层：图形的分割,自主探索：,如右下图，一个小三角形的面积为1，则图形ABCD的面积是多少？,请把自己的想法说给同学听听。
7、,如右图将图形分割成4块进行计算,解：把图形分割成如下图所示的四块：图形的面积是：3；图形的面积是：3；图形的面积是：3；图形的面积是：9。图形ABCDE的面积为3+3+3+9=18。,试一试：,如下图，一个三角形的面积为1，计算ABCDE的面积多少？,要学会将一些不规则图形进行合理分割后计算,解：把图形分割成如下图所示的三块：图形的面积是：12；图形的面积是：4；图形的面积是：6。所以图形ABCDE的面积为12+4+6=22。,巩固拓展：,1、求下列各格点多边形的面积（每相邻三个点或“”成面积为1的等边三角形）。,（1）,（2）,（3）,（1）19 解：由三角形格点面积公式得，n=8，m=5。,。（2）19 解：由三角形格点面积公式得，n=7，m=7。,（3）18 解：由三角形格点面积公式得，n=7，m=6,2、图中有三个正方形，分别计算正方形、的面积，并观察这三个正方形的面积之间有什么关系？,解：显然正方形、的面积都是4 求正方形的面积有多种方法。如用扩展成平置的正方形，或沿AD切割成两个有一边平置的三角形，或用毕克定理都可求得面积为8。,
