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1、2.曲线积分和路径的无关性,定理 若函数 在区域 上有连续的偏导数，是单连通区域，那么以下四条相互等价：（i）对任一全部含在 内闭路，（ii）对任一全部含在 内的曲线，曲线积分与路径无关（只依赖曲线的端点）；（iii）微分式 在 内是某一个函数 的全微分，即；（iv）在 内处处成立。证明,当曲线积分和路径无关时，即满足上面的诸条件，如令点 固定而点 为区域 内任意一点，那么由积分所定义的函数在 内连续并且单值。这个函数 为的一个原函数，它和定积分中所述原函数相仿并有以下性质：1.这由刚才的证明即得。2利用原函数 来计算曲线积分这里，和 分别为，点的坐标。是一个,记号，它等于。剩下来还要说明如何
2、求 的原函数。设 和 满足定理的条件。因此必存在原函数 使，同时 的曲线积分与路径无关。在区域 内固定一点，对 内任何点，沿两条直线 和 从点 到点 的积分，得其中，同样不难验证 也是 的一个原函数。以下考虑非单连通区域的情形，并引进一个重要概念：循环常数，在曲线积分与路径无关的定理中，它的理论是建立在两个假定之上（i）所考虑区域 是单连通的，即没有“洞”；（ii）函数，及其偏导数,在 内连续。如果这两个条件被破坏了，一般来说，上面的那些断言将不会成立。现在讨论区域内有一个奇点 的情形。这时，如果闭路中包含一奇点，格林公式就不能应用。我们考虑两条闭路，都逆时针绕奇点 一圈，可用线段 将和 联结
3、起来，在 及 上沿逆时针方向积分，即得所以即环绕某一奇点的任两条闭路沿同一方向的积分相等。因此，对区域 中任何闭路，它或者不绕过奇点，或者绕过 周，这时积分值就是,的 倍。只环绕奇点 一周的闭路上的积分值叫做区域 的循环常数，记为，于是，对 内任一闭路，这里 为沿闭路 按逆时针方向绕 的圈数。例如当 时 如果它按逆时针方向绕 的圈数为，按顺时,针方向绕 的圈数为，那么。如果 内有 个奇点，在 周围作一环路使它不包含其他奇点，则沿闭路的积分 就是一个循环常数。区域 共有 个循环常数，若 为任意的含在 内的闭路，它环绕点 的周数为，这里 的算法和上述的 相同，则所有沿 内任意闭路的积分都有这样的形式。例 计算,
