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1、2.曲线积分和路径的无关性,定理 若函数 在区域 上有连续的偏导数,是单连通区域,那么以下四条相互等价:(i)对任一全部含在 内闭路,(ii)对任一全部含在 内的曲线,曲线积分与路径无关(只依赖曲线的端点);(iii)微分式 在 内是某一个函数 的全微分,即;(iv)在 内处处成立。证明,当曲线积分和路径无关时,即满足上面的诸条件,如令点 固定而点 为区域 内任意一点,那么由积分所定义的函数在 内连续并且单值。这个函数 为的一个原函数,它和定积分中所述原函数相仿并有以下性质:1.这由刚才的证明即得。2利用原函数 来计算曲线积分这里,和 分别为,点的坐标。是一个,记号,它等于。剩下来还要说明如何
2、求 的原函数。设 和 满足定理的条件。因此必存在原函数 使,同时 的曲线积分与路径无关。在区域 内固定一点,对 内任何点,沿两条直线 和 从点 到点 的积分,得其中,同样不难验证 也是 的一个原函数。以下考虑非单连通区域的情形,并引进一个重要概念:循环常数,在曲线积分与路径无关的定理中,它的理论是建立在两个假定之上(i)所考虑区域 是单连通的,即没有“洞”;(ii)函数,及其偏导数,在 内连续。如果这两个条件被破坏了,一般来说,上面的那些断言将不会成立。现在讨论区域内有一个奇点 的情形。这时,如果闭路中包含一奇点,格林公式就不能应用。我们考虑两条闭路,都逆时针绕奇点 一圈,可用线段 将和 联结
3、起来,在 及 上沿逆时针方向积分,即得所以即环绕某一奇点的任两条闭路沿同一方向的积分相等。因此,对区域 中任何闭路,它或者不绕过奇点,或者绕过 周,这时积分值就是,的 倍。只环绕奇点 一周的闭路上的积分值叫做区域 的循环常数,记为,于是,对 内任一闭路,这里 为沿闭路 按逆时针方向绕 的圈数。例如当 时 如果它按逆时针方向绕 的圈数为,按顺时,针方向绕 的圈数为,那么。如果 内有 个奇点,在 周围作一环路使它不包含其他奇点,则沿闭路的积分 就是一个循环常数。区域 共有 个循环常数,若 为任意的含在 内的闭路,它环绕点 的周数为,这里 的算法和上述的 相同,则所有沿 内任意闭路的积分都有这样的形式。例 计算,