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1、第10章期权定价模型与数值方法,10.1期权基础概念,1 期权的定义 期权分为买入期权（call option）和卖出期权（put option）。买入期权:又称看涨期权（或敲入期权），它是赋予期权持有者在给定时间（或在此时间之前任一时刻）按规定价格买入一定数量某种资产的权利的一种法律合同。卖出期权:又称看跌期权（或敲出期权），它是赋予期权持有者在给定时间（或在此时间之前任一时刻）按规定价格卖出一定数量某种资产的权利的一种法律合同。2 期权的要素 期权的四个要素：行权价（exercise price或striking price）、到期日（maturing data）、标的资产（underly
2、ing asset）、期权费（option premium）。对于期权的购买者（持有者）而言，付出期权费后，只有权利没有义务；对期权的出售者而言，接受期权费后，只有义务没有权利。,期权及其有关概念,3 期权的内在价值 买入期权在执行日的价值CT为 CT=max(ST E,0)式中:E表示行权价；ST表示标的资产的市场价。卖出期权在执行日的价值PT为 PT=max(E ST,0)根据期权的行权价与标的资产市场价之间的关系，期权可分为价内期权（in the money）(S E)、平价期权（at the money）(S=E)和价外期权（out of the money）(S E)。,期权及其有关
3、概念,说明期权价格与股票价格相关,Black-Scholes方程求解,BlackScholes微分方程的风险中性定价。在风险中性事件中，以下两个结论称为风险中性定价原则:任何可交易的基础金融资产的瞬时期望收益率均为无风险利率，即恒有=r;任何一种衍生工具当前t时刻的价值均等于未来T时刻其价值的期望值按无风险利率贴现的现值。BlackScholes期权定价公式，欧式买权或卖权解的表达式为,式中：,MATLAB中计算期权价格的函数为blsprice函数，语法为Call,Put=blsprice(Price,Strike,Rate,Time,Volatility,Yield)输入参数：Price：标
4、的资产市场价格；Strike：执行价格；Rate：无风险利率；Time：距离到期时间；Volatility：标的资产价格波动率；Yield：（可选）资产连续贴现利率，默认为0。输出参数：Call:Call option价格；Put：Put option价格。,Black-Scholes方程求解,例10.2 假设欧式股票期权,三个月后到期,执行价格95元,现价为100元,无股利支付,股价年化波动率为50%,无风险利率为10%,计算期权价格。代码如下:,Black-Scholes方程求解,%标底资产价格Price=100;%执行价格Strike=95;%无风险收益率（年化）10%Rate=0.1%
5、剩余时间Time=3/12;%年化波动率Volatility=0.5Call,Put=blsprice(100,95,0.1,0.25,0.5)Call=13.70%买入期权 Put=6.35%卖出期权,影响期权价格的因素分析,期权价格受到当前价格S、执行价格E、期权的期限T、股票价格方差率2及无风险利率r五个因素的影响。下面以欧式看涨期权为例来分析。期权对这五个因素的敏感程度称为期权的Greeks，其计算公式与计算函数如下。,1.德尔塔（Delta）期权是考察期权价格随标的资产价格变化的关系，从数学角度看，是期权价格相对于标的资产价格的偏导数,有,计算函数为blsdelta.m,函数语法如下
6、：,影响期权价格的因素分析,CallDelta,PutDelta=blsdelta(Price,Strike,Rate,Time,Volatility,Yield)输入参数：Price：标的资产市场价格；Strike：执行价格；Rate：无风险利率；Time：距离到期时间；Volatility：标的资产价格波动率；Yield：（可选）资产连续贴现利率，默认为0。输出参数：CallDelta:看涨期权的；PutDelta：看跌期权的。,例10.2 假设欧式股票期权,三个月后到期,执行价格95元,现价为100元,无股利支付,股价年化波动率为50%,无风险利率为10%,计算期权。代码如下:Price
7、=60:1:100;%标底资产价格Strike=95;%执行价格Rate=0.1;%无风险收益率（年化）Time=(1:1:12)/12;%剩余时间Volatility=0.5;%年化波动率CallDelta,PutDelta=blsdelta(Price,Strike,Rate,Time,Volatility),若要分析期权与标的资产价格、剩余期限的关系，即不同的Price与Time计算不同的三维关系，可以编写如下代码：Price=60:1:100;%标底资产价格Strike=95;%执行价格Rate=0.1;%无风险收益率（年化）Time=(1:1:12)/12;%剩余时间Volatili
8、ty=0.5;%年化波动率Price,Time=meshgrid(Price,Time);Calldelta,Putdelta=blsdelta(Price,Strike,Rate,Time,Volatility);%mesh(Price,Time,Calldelta);mesh(Price,Time,Putdelta);xlabel(Stock Price);ylabel(Time(year);zlabel(Delta);,影响期权价格的因素分析,2.西塔（Theta）表示期权价格对于到期日的敏感度，称为期权的时间损耗。,3.维伽（Vega）表示方差率对期权价格的影响。4.珞（Rho）为期权
9、的价值随利率波动的敏感度，利率增加，使期权价值变大。5.伽玛（Gamma）表示与标的资产价格变动的关系。,影响期权价格的因素分析,10.3BS公式隐含波动率计算,BlackScholes期权定价公式，欧式期权理论价格的表达式：,式中：,隐含波动率是将市场上的期权交易价格代入权证理论价格BlackScholes模型反推出来的波动率数值。由于期权定价BS模型给出了期权价格与五个基本参数之间的定量关系，只要将其中前4个基本参数及期权的实际市场价格作为已知量代入定价公式，就可以从中解出惟一的未知量，其大小就是隐含波动率。,隐含波动率概念,10.3.2隐含波动率计算方法,隐含波动率是把权证的价格代入BS
10、模型中反算出来的，它反映了投资者对未来标的证券波动率的预期。BlackScholes期权定价公式中已知St(标的资产市场价格)、X(执行价格)、r(无风险利率)、Tt(距离到期时间)、看涨期权ct或者看跌期权pt,根据BS公式计算出与其相应的隐含波动率yin。,数学模型为,式中:,求解方程fc(yin)=0,fp(yin)=0的根。,本质上是非线性方程,10.3.3隐含波动率计算程序,利用fsolve函数计算隐含波动率，fsolve是MATLAB最主要内置的求解方程组的函数，具体fsolve的使用方法可以参看相关函数说明。例10.4假设欧式股票期权，3个月后到期，执行价格95元，现价为100元
11、，无股利支付，股价年化波动率为50%，无风险利率为10%，计算期权价格。计算结果如下：,假设目前其期权交易价格为Call=15.00 元，Put=7.00 元，分别计算其相对应的隐含波动率。,Call,Put=blsprice(100,95,0.1,0.25,0.5)Call=13.6953 Put=6.3497,步骤1：建立方程函数。看涨期权隐含波动率方程的M文件ImpliedVolatitityCallObj.M，其语法如下：f=ImpliedVolatitityCallObj(Volatility,Price,Strike,Rate,Time,Callprice)程序代码如下:,func
12、tion f=ImpliedVolatitityCallObj(Volatility,Price,Strike,Rate,Time,Callprice)%ImpliedVolatitityCallObj%code by 2009-8-3Call,Put=blsprice(Price,Strike,Rate,Time,Volatility);%存在一个波动率使得下列等式成立%fc(ImpliedVolatitity)=Call-Callprice=0f=Call-Callprice;,10.3.3隐含波动率计算程序,看跌期权隐含波动率方程的M 文件为ImpliedVolatitityPutObj
13、.m,其语法如下:f=ImpliedVolatitityPutObj(Volatility,Price,Strike,Rate,Time,Putprice)程序代码如下:,function f=ImpliedVolatitityPutObj(Volatility,Price,Strike,Rate,Time,Putprice)%ImpliedVolatitityCallObj%code by 2009-8-3%根据参数，使用blsprice计算期权价格Call,Put=blsprice(Price,Strike,Rate,Time,Volatility);%fp(ImpliedVolatiti
14、ty)=Put-Putprice=0%目标使得寻找X使得目标函数为0f=Put-Putprice;,10.3.3隐含波动率计算程序,步骤2：求解方程函数。求解方程函数的M文件为ImpliedVolatility.m,其语法如下：Vc,Vp,Cfval,Pfval=ImpliedVolatility(Price,Strike,Rate,Time,CallPrice,PutPrice),function Vc,Vp,Cfval,Pfval=ImpliedVolatility(Price,Strike,Rate,Time,CallPrice,PutPrice)%ImpliedVolatility%c
15、ode by 2009-8-3Volatility0=1.0;%优化算法初始迭代点;%CallPrice对应的隐含波动率Vc,Cfval=fsolve(Volatility)ImpliedVolatitityCallObj(Volatility,Price,Strike,Rate,Time,CallPrice),Volatility0);%CallPrice对应的隐含波动率Vp,Pfval=fsolve(Volatility)ImpliedVolatitityPutObj(Volatility,Price,Strike,Rate,Time,PutPrice),Volatility0);,10.
16、3.3隐含波动率计算程序,步骤3：函数求解。M文件TestImpliedVolatility.M代码如下：,%TestImpliedVolatility%市场价格Price=100;%执行价格Strike=95;%无风险利率Rate=0.10;%时间（年）Time=0.25;CallPrice=15.0;%看涨期权交易价格PutPrice=7.0;%看跌期权交易价格%调用ImpliedVolatility函数Vc,Vp,Cfval,Pfval=ImpliedVolatility(Price,Strike,Rate,Time,CallPrice,PutPrice),10.3.3隐含波动率计算程序
17、,隐含波动率与期权价格关系图,Price=100;Strike=95;Rate=0.10;Time=1.0;Volatility=0:0.1:2.0;n=length(Volatility);Call=zeros(n,1);Put=zeros(n,1);for i=1:n Call(i),Put(i)=blsprice(Price,Strike,Rate,Time,Volatility(i);endsubplot(2,1,1)plot(Volatility,Call,-*);legend(CallPrice)subplot(2,1,2)plot(Volatility,Put,-o);legen
18、d(PutPrice),知识脉络图,期权定价理论,数值实现,期权定价函数blsprice.m,影响期权价格因素的计算函数blsdelta.mblsgamma.mblslambda.mblsrho.mblstheta.mblsvega.m,隐含波动率计算,10.4期权二叉树模型,二叉树期权定价模型是由、和M.Rubinstein于1979年首先提出的，已经成为金融界最基本的期权定价方法之一。二叉树模型的优点在于其比较简单直观，不需要太多的数学知识就可以应用。,10.4.1二叉树模型的基本理论,二叉树模型首先把期权的有效期分为很多很小的时间间隔t，并假设在每一个时间间隔t内证券价格只有两种运动的可
19、能：从开始的S上升到原来的u倍，即到达Su；下降到原来的d倍，即Sd。其中，u 1，d 1。价格上升的概率假设为p，下降的概率假设为1p。相应地，期权价值也会有所不同，分别为fu和fd，如右图所示。,t 时间内资产价格的变动,期权二叉树模型定价计算方法,单阶段情形多阶段情形,无风险原则,无套利原则,二叉树模型的计算,在MATLAB的finance工具箱中提供二叉树模型计算期权价格的函数binprice，其语法如下：AssetPrice,OptionValue=binprice(Price,Strike,Rate,Time,Increment,Volatility,Flag,DividendRa
20、te,Dividend,ExDiv)输入参数：Price：标的资产市场价格；Strike：执行价格；Rate：无风险利率；Time：距离到期时间；Increment:每个阶段的时间间隔，例如1年分12阶二叉树，每阶段时长1个月；Volatility：波动率；Flag:期权种类标记，flag=1看涨期权，flag=0 看跌期权；DividendRate：（可选）分红率；Dividend：（可选）分红金额向量；ExDiv：（可选）额外份额金额。输出参数：AssetPrice：标的资产价格；OptionValue：期权价格。,二叉树模型的计算,例10.5 假设欧式股票期权,六个月后到期,执行价格95
21、元,现价为100元,无股利支付,股价年化波动率为50%,无风险利率为10%,则期权价格代码如下:,%标底资产价格Price=100;%执行价格Strike=95;%无风险收益率（年化）Rate=0.1;%10%剩余时间Time=6/12;%;%看涨期权 flag=1;%每阶段间个1个月Increment=1/12;%波动率 Volatility=0.5;%调用binprice函数AssetPrice,OptionValue=binprice(Price,Strike,Rate,Time,Increment,Volatility,flag),运行结果,期权价格二叉树走势图,标的资产价格二叉树走势
22、图,知识脉络图,期权二叉树定价模型,计算函数binprice.m,算例实验,10.5期权定价的蒙特卡罗方法,10.5.1模拟基本思路,以欧式期权f(t,S)（即期权价值只与两个状态变量：资产价格S和时间t有关，且利率为常数）为例，以说明蒙特卡罗模拟的基本方法：从初始时刻的标的资产价格开始，直到到期T，为S取在风险中性事件跨越整个有效期的一条随机路径，这就给出了标的资产价格路径的一个实现；计算出这条路径下期权的回报；重复、，得到许多样本结果，即风险中性事件中的期权回报的值；计算这些样本回报的均值，得到风险中性事件中预期的期权回报值；用无风险利率贴现，得到这个期权的估计价值。,蒙卡方法的核心部分,
23、10.5.2模拟技术实现,根据BlackScholes模型，在风险中性事件中，标的资产价格变量遵循几何布朗运动，我们用模拟的方法得到下列方程的解：式中：为股票价格的预期收益率（在风险中性事件中，为无风险利率r）、为股票价格的波动率，、为常数，Zt为一标准布朗运动。常见的有三种模拟方法：,离散形式为,通过欧拉逼近有,原方程的解析解为,10.5.4欧式期权蒙特卡罗模拟,用蒙特卡罗方法模拟欧式期权的价格。在风险中性定价原理下，假设股票服从几何布朗运动：,到期日，欧式期权的现金流为,欧式期权的重要特征,10.5.5障碍权蒙特卡罗模拟,障碍期权是特殊形式的期权。例如,确定一个障碍值Sb,在期权的存续期内
24、有可能超越该价格,也可能低于该价格。对于敲出期权而言,如果在期权的存续期内标的资产价格触及障碍值Sb,期权合同可以提前终止执行;相反,对于敲入期权而言,如果标的资产价格触及障碍值Sb,期权合同才生效。,注意:障碍值Sb可以低于标的资产现在的价格S0，也可以高于S0。如果SbS0，则称为上涨期权；反之则称为下跌期权。,10.5.6亚式期权蒙特卡罗模拟,用蒙特卡罗方法模拟算术平均亚式期权的定价，亚式期权是一种路径依赖期权，它的收益函数依赖于期权存续期内标的资产的平均价格。平均价格可分为算术平均和几何平均两种。欧式几何平均亚式期权可以得到解析表达式。,对于离散算术平均价格定义为,式中：ti(I=1,2,N)是离散时间样本点。对于离散几何平均价格定义为,算术平均亚式看涨期权到期现金流为,
