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1、极限的四则运算法则 复合函数的极限运算法则,第六节 极限的运算法则,由于根据极限的定义,只能验证某个常数 A 是否为某个函数(x)的极限,而不能求出函数(x)的极限.为了解决极限的计算问题,下面介绍极限的运算法则.,一、极限的四则运算法则,定理,注:没写极限的过程指同一极限过程.,证明可用定义.以极限过程为 xx0 的证明(1)为例.,证,因为,即 可以表示为常数与无穷小之和,即得证.,推论1,常数因子可以提到极限记号外面.,推论2,若(2)中 g(x)=c 时得到,若(2)中(x)=g(x)时得到,(1)、(2)的推广:,证,求函数极限的方法,I.求初等函数在定义域内某点的极限,就是函数在该
2、点的函数值.即,例1,解,小结:,解,商的法则不能用,由无穷小与无穷大的关系,得,例2,II.求初等函数在定义域外某点的极限,函数在形式上呈现不定式,求其极限须利用其它方法消除不定式,把它转化为另一个在该点有定义的函数的极限.,解,例3,1.因式分解,解,因为,则极限 不能直接应用商的极限运算性质,分子和分母都含有因式 x-1,约去这个因式得,练一练,练一练,若,a,b 均为常数,则(),(1),解 因为,极限和的运算法则不能直接应用,将,通分得,原式,练一练,2.分子分母有理化,解,将分子有理化,得,例4,练一练,解,于是,例4,解,3.分子分母同乘以或除以一个函数,解 因为,极限 不能直接
3、使用商的极限运算法则,从分子和分母约去 x的最高次幂 有,练一练,一般地,对有理分式函数F(x),在x 时极限有如下讨论:,分子,分母同时除以自变量的最高次幂,然后再求极限.,解,例5,当 时,当 时,练一练,解,于是,解,4.利用数列求和公式求极限,例6,解,解,先变形再求极限.,练一练,练一练,5.利用极限性质,无穷小量性质,例7,解,练一练,其中 是无穷小量,是有界函数.,其中 是无穷小量,是有界函数.,6.解方程法,利用,对上述的递推式两边求极限得到,示为递推式:,若 存在,则令,于是,解此方程,其解即为数列xn的极限.,解,例8,由于,于是,即,若a=2,则,于是,练一练,解法一,由
4、于,于是,即,解法二,于是,二、复合函数的极限运算法则,意义：,(1)也可将此定理中的极限过程改为 x,或者将 的极限 a 改为(即只须外函数极限存在),结论同样成立.,(2)此定理表明了满足定理条件的复合函数的极限存在的同时也说明用变量替换的方法去计算复合函数的极限是可行的,即 与 满足定理条件,则通过变 换,即可把,其理论证明(略).但须指出以下两点：,求 的问题转换为求 或,例9 求极限,解,故应当考虑左、右极限.,倒代换的应用,例10 试确定常数 a 使,解,令,则,故,因此,解,练一练,解 方法 1,则,令,原式,方法 2,练一练,求,解法 1,原式=,解法 2,令,则,原式=,练一练,解,利用前一极限式可令,再利用后一极限式,得,可见,故,思考题,在某个过程中，若 有极限，无极限，那么 是否有极限？为什么？,思考题解答,没有极限,假设 有极限，,有极限，,由极限运算法则可知：,必有极限，,与已知矛盾，,故假设错误,
