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1、第 1 章模糊集合及其运算,模糊集(也称为模糊集合)是模糊数学的基础，模糊数学则是研究和处理模糊性现象的数学方法。本章着重介绍模糊集的基本概念、运算法则、基本定理及其简单的应用。,1.1 模糊数学的创立及发展,1965年，美国加利福尼亚大学控制论专家扎德(L.A.Zadeh)教授在信息与控制杂志上发表了一篇开创性论文模糊集合，这标志着模糊数学的诞生。扎德是世界公认的系统理论及其应用领域最有贡献的人之一，被誉为“模糊集之父。,与其他学科一样，模糊数学也是因实践的需要而产生的。在日常生活中，模糊概念(或现象)处处存在，在科学技术、经济管理领域中，模糊概念(或现象)也无处不在。当代科技发展的趋势之一
2、，就是各个学科领域都要求定量化、数学化.当然也迫切要求将模糊概念(或现象)定量化、数学化，这就促使人们必须寻找一种研究和处理模糊概念(或现象)的数学方法.,经典数学是以精确性为特征的.然而，与精确形相悖的模糊性并不完全是消极的、没有价值的.甚至可以这样说，有时模糊性比精确性还要好.例如,要你某时到某地去迎接一个“大胡子高个子长头发戴宽边黑色眼镜的中年男人”.尽管这里只提供了一个精确信息男人，而其他信息大胡子、高个子、长头发、宽边黑色眼镜、中年等都是模糊概念，但是你只要将这些模糊概念经过头脑的综合分析判断，就可以接到这个人.模糊数学在实际中的应用几乎涉及到国民经济的各个领域及部门，农业、林业、气
3、象、环境、地质勘探、医学、经济管理等方面都有模糊数学的广泛而又成功的应用.,在人类社会和各个科学领域中，人们所遇到的各种量大体上可以分成两大类:确定性的与不确定性的，而不确定性又可分为随机性和模糊性，人们正是用三种数学来分别研究客观世界中不同的量，即,在这种框架内，数学模型也可以分为三大类。第一类是确定性数学模型。这类模型研究的对象具有确定性，对象之间具有必然的关系，最典型的就是用微分法、微分方程、差分方程所建立的数学模型。第二类是随机性数学模型。这类模型研究的对象具有随机性，对象之间具有偶然的关系，如用概率分布方法、马尔可夫(Markov)链所建立的数学模型。第三类是模糊性数学模型。这类模型
4、所研究的对象与对象之间的关系具有模糊性。这就是本课程所要讨论的模型。统计数学和模糊数学都是研究非确定性现象的数学，但两者又有本质上的不同，主要区别如下:,在这种框架内，数学模型也可以分为三大类。第一类是确定性数学模型。这类模型研究的对象具有确定性，对象之间具有必然的关系，最典型的就是用微分法、微分方程、差分方程所建立的数学模型。第二类是随机性数学模型。这类模型研究的对象具有随机性，对象之间具有偶然的关系，如用概率分布方法、马尔可夫(Markov)链所建立的数学模型。第三类是模糊性数学模型。这类模型所研究的对象与对象之间的关系具有模糊性。这就是本课程所要讨论的模型。统计数学和模糊数学都是研究非确
5、定性现象的数学，但两者又有本质上的不同，主要区别如下:,1.统计数学是研究和处理随机性的问题。所谓随机性是对事件的发生与否而言，由于条件不充分，事件可能发生也可能不发生，即事件的发生存在一定的概率。但事件本身的含义是明确的。例如抛掷一枚硬币，国徽是否朝上是无法确定的，也就是随机的，但国徽的含义是明确的，我们可以通过多次抛掷得出国徽朝上的概率。模糊数学是研究和处理模糊性现象的数学，在这里事件本身的含义就是不明确的，但事件发生与否则是明确的。例如“张三的病不清，张三有病是确定的了，但病重到什么程度却是不明确的，需要用隶属函数来刻画这种不确定性。,2.统计数学和经典数学一样，都是以经典集合论为理论基
6、础，因此满足互补律（排中律），而模糊数学摒弃了“非此即被”的确定性，表现出“亦此亦彼”的模糊性，因此是不满足互补律的。3.统计数学把数学应用的领域从必然现象扩大到偶然现象，而模糊数学则把数学应用的领域从清晰现象扩大到模糊现象。,1.2 模糊理论的数学基础,1.2.1 经典集合 经典集合具有两条基本属性：元素彼此相异，即无重复性；范围边界分明,即一个元素x要么属于集合A(记作xA),要么不属于集合(记作xA)，二者必居其一.,集合的表示法：(1)枚举法，A=x1,x2,xn；(2)描述法，A=x|P(x).AB 若xA，则xB；AB 若xB，则xA；A=B AB且 AB.,集合A的所有子集所组成
7、的集合称为A的幂集，记为(A).,并集AB=x|xA或xB；交集AB=x|xA且xB；余集Ac=x|xA.,集合的运算规律 幂等律：AA=A，AA=A；交换律：AB=BA，AB=BA；结合律：(AB)C=A(BC)，(AB)C=A(BC)；吸收律：A(AB)=A，A(AB)=A；,分配律：(AB)C=(AC)(BC)；(AB)C=(AC)(BC)；0-1律：AU=U，AU=A；A=A，A=；还原律：(Ac)c=A；对偶律：(AB)c=AcBc，(AB)c=AcBc；互补律（排中律）：AAc=U，AAc=；,U 为全集，为空集.,集合的直积：X Y=(x,y)|xX,y Y.,在日常生活中，有许多事物是成对出现的，且具有一定的顺序，例如上、下，左、右，平面上点的坐标等，任意两个元素x与y配成一个有序的对(x，y)，称为x与y的序对.,1.2.2 映射及其扩张,（1）映射,（2）集合的特征函数,（2）映射的扩张,1.2.3 二元关系,（1）二元关系的概念,（2）关系的矩阵表示法,（3）关系的合成,(4)等价关系 划分,1.3 模糊集合及其运算,1.4 模糊集合与经典集合的联系,1.5 隶属度函数的确定,
