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1、第6章 测量误差的基本理论,6.1测量误差概述6.2测量精度的评定指标6.3误差传播定律及其应用6.4算术平均值及其中误差6.5广义算术平均值及其精度评定,6.1测量误差概述,观测中常见的现象举例,1如图1，对两点的距离重复丈量n次，但结果不相等，即,。,2.对三角形三个内角进行观测，得值a,b,c,但是,现象总结：(1)同一观测量之间的值不相等,(2)观测值与其理论值(真值)之间有差异.原因:观测中存在观测误差。,6.1测量误差概述,一、测量误差产生的原因误差来源的三个方面：1、观测者观测者的感觉器官的鉴别能力限制；技术熟练程度。2、测量仪器仪器本身器件之间装配；使用过程中的变化。3、测量环
2、境（外界条件）温度、气压、大气折光、风力、大气透明度等。三者合称为观测条件二、误差分类：真误差的定义i=X-li根据观测误差对观测结果的影响性质分为：系统误差、偶然误差、粗差。,6.1测量误差概述,二、误差分类：1、系统误差（1）定义：在相同的观测条件下作一系列的观测，如果误差在大小、符号上表现出系统性，或者在观测过程中按一定的规律变化，或者为某一常数，那么，这种误差就称为系统误差。（2）举例：尺长误差（保持常数）；水准测量中的i角误差（系统性）；大气折光，白天黑夜相反；钢尺温度变化，热胀冷缩（有规律变化）（3）消除或减弱的方法好的观测方法水准测量中，前后视距相等，可以消除i角对观测结果的影响
3、；角度测量中，盘左、盘右取中数可以消除竖盘指标差的影响。加改正数方法。例如，钢尺量距时，加入尺长改正、温度改正等。,6.1测量误差概述,二、误差分类：2、偶然误差（随机误差）（1）定义：在相同的观测条件下作一系列的观测，如果误差在大小和符号上都表现出偶然性，即从单个误差看，该列误差的大小和符号没有规律性，但就大量误差的总体而言，具有一定的统计规律，这种误差称为偶然误差。（2）举例：读数误差，照准误差（3）消除或减弱的方法采用概率论和数理统计的理论进行处理，减弱偶然误差的影响。3、粗差（1）定义：指比可能产生的最大误差还大的误差（或错误）。（2）举例：找错目标、大数读错等（3）消除或减弱的方法严
4、格按规范规定的程序进行测量工作，加强检核措施等。,6.1测量误差概述,三、偶然误差的特性1.列表法分析用601个三角形闭合差（真误差）进行分析，见表6-1,6.1测量误差概述,偶然误差的四个特性：用真误差 列于据表6-1数据分析，得偶然误差的四个特性：（1）在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值。（2）绝对值小的偶然误差比绝对值大的偶然误差出现的可能性大（频率大或概率大）。（3）绝对值相等的正、负误差出现的可能性相等。（4）在相同观测条件下，同一量的多次观测值的偶然误差的算术平均值，随着观测次数的无限增大而趋于零。即,分析方法：误差分布表法、直方图法、数字特征法。,6.1测量误
5、差概述,2.直方图分析法用表6-1的数据作出图6-1的误差分布图，更加直观的说明偶然误差的特性。这种图称为误差频率分布直方图。横坐标表示误差的数值大小；纵坐标表示误差出现在该区间的频率ni/n除以区间的间隔值d,即：ni/n/d 因此，各每个矩形的面积等于误差出现于该区间的频率,6.1测量误差概述,3.偶然误差的概率分布当误差个数区域无穷、误差区间无限小时，频率直方图变为概率分布图，其直方图的顶端的折线变为光滑的曲线。该曲线在概率论中称之为正态分布曲线。即偶然误差属于正态分布。其概率分布密度函数为,6.1测量误差概述,3.偶然误差的概率分布其概率分布密度函数为,62测量精度的评定指标,精度的（
6、定义）：精度就是指误差分布的密集或离散的程度。准确度：所谓准确度，是指随机变量（观测量）的数学期望与其真值的接近程度。精确度：精确度是指随机变量（观测量）的数学期望与其真值的接近程度。下图说明三者之间的关系,62测量精度的评定指标,衡量精度的指标在实用上，是用一些数字特征来说明误差分布的密集或离散的程度，称它们为衡量精度的指标。常用的精度指标有：中误差、相对误差、容许误差。一、中误差1中误差的定义在相同的条件下，对同一量进行次观测，所得各个真误差平方的平均值的平方根，称为中误差，用m表示，即,m表示每一次观测值的中误差。,62测量精度的评定指标,2用真误差计算中误差算例例6-2,62测量精度的
7、评定指标,二、相对误差1中误差的局限例如，分别丈量了1000m及500m的两段距离，它们的中误差均为2cm，虽然两者的中误差相同，但就单位长度而言，两者精度并不相同。显然前者的相对精度比后者要高。此时，须采用另一种办法来衡量精度，通常采用相对中误差。2相对中误差相对中误差定义：中误差的绝对值与相应观测值之比值,62测量精度的评定指标,3相对误差相对误差定义：差值的绝对值与相应观测值之比值。,与相对误差相对应，真误差、中误差、极限误差等均称为绝对误差。,相对精度是指长度元素而言。如果不特别说明，相对精度是指相对中误差。角度元素没有相对精度。,62测量精度的评定指标,三、容许（极限）误差 按正态分
8、布表查得，误差出现的概率分别为：,绝对值大于三倍中误差的偶然误差出现的概率仅有0.3%，大于二倍中误差的概率只有4.5%。这已经是概率接近于零的小概率事件，或者说这是实际上的不可能事件。故一般以三倍中误差或二倍中误差作为偶然误差的极限值，并称为容许（极限）误差。即：,或,63误差传播定律及其应用,误差传播定律概念：阐述观测值中误差与观测值函数中误差之间数学关系的定律，称为误差传播定律。一、和、差函数的中误差1.函数形式设x、y为独立观测值，其中误差为mx，my，观测值的函数为 Z=xy2.函数的中误差计算式则函数Z的中误差计算式为,算例：见例6-3、例6-4,63误差传播定律及其应用,二、倍数
9、函数的中误差1.函数形式设x为观测值，其中误差为mx，观测值的函数为 Z=kx2.函数的中误差计算式则函数Z的中误差计算式为,算例：见例6-5,63误差传播定律及其应用,三、线性函数的中误差1.函数形式设x1，x2，xn为独立观测值，其中误差为m1，m2，mn，观测值的函数为,算例：见例6-6,2.函数的中误差计算式则函数Z的中误差计算式为,63误差传播定律及其应用四、非线性函数的中误差,算例：见例6-7,64算术平均值及其中误差,一、算术平均值,即,64算术平均值及其中误差,一、算术平均值,64算术平均值及其中误差,二、算术平均值的中误差算术平均值的中误差与单个观测值的关系式,设单个观测值的
10、中误差为m，算术平均值的中误差为mx，则根据误差传播定律，得,64算术平均值及其中误差,三、用观测值的改正数计算中误差 算术平均值的中误差与单个观测值的关系式。在实际工作中，一般情况下，量的真值是不知的，故无法利用真误差计算中误差。但是可以利用算术平均值和观测值的差值-改正数计算。1.改正数的计算设对同一个量同精度观测了n次，得观测值,算术平均值为,64算术平均值及其中误差,三、用观测值的改正数计算中误差1.改正数的计算则观测值的改正数按下式计算,64算术平均值及其中误差,三、用观测值的改正数计算中误差2.则观测值的中误差按下式计算,3.算术平均值的中误差按下式计算,其中,64算术平均值及其中
11、误差,四、用等精度双观测值的差值求观测值的中误差1.双观测值的概念对同一个量独立观测了两次，得,则称其为双观测值,2.双观测值的之差,3.单次观测值的中误差,4.两次观测值平均值的中误差,65广义算术平均值及其精度的评定,一、“权”的定义设观测值Li的中误差为mi，为任意常数，则定义的权为,二、常用的定权方法1.水准测量的权（1）按测站数定权设某水准路线的观测高差为hi，测站数为ni，hi的中误差为mi，c为任意常数，则hi的权为,65广义算术平均值及其精度的评定,二、常用的定权方法1.水准测量的权（2）按水准路线长度定权设某水准路线的观测高差为hi，路线长度Li千米，hi的中误差为mi，c为任意常数，则hi的权为,65广义算术平均值及其精度的评定,二、常用的定权方法2.测量距离的权设某段距离的长度为Di千米，c为任意常数，则hi的权为,3.同精度观测值算术平均值的权,设有一组观测量,它们分别是,次等精度观测值的算术平均值，则各观测值的权为,65广义算术平均值及其精度的评定,三、广义算术平均值广义算术平均值，又称为加权平均值。设对某一量X进行了n次不等精度观测，观测值为,其权为,则其广义算术平均值为,四、广义算术平均值的中误差,第5章完,
