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1、,数学魔方,储聪忠,张家港高级中学校本课程 趣味数学3,互动练习,将1,2,3,4,5,6,7,8,9这九个数字填到33的方格中，如何填，才能使用各行各列及斜对角线的数字之和都是同一个定数？,洛书,传说4000多年以前，大禹治水的时候，洛水里浮出了一只神龟，龟背上的花纹隐约可见一幅图案。图上共有黑白圆圈45个，黑色表示阴（偶数），白色表示阳（奇数）。由于此图出自洛水，故被人们称作“洛书”。后来人们把洛书又称为“九宫图”。公元6世纪前后有个叫甄鸾的数学家，他对洛书作了数学解释：“九宫者，即二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央。”按照这个说明，可知洛书实际上就是一个从1到9排成3行3列
2、的数字表。甄鸾发现它的每行、每列以及斜对角线上的数字之和都等于15。能满足这种特殊条件的数字方阵，就称为幻方。,玉挂奇图,1980年，上海博物馆考古部在清理明代古墓的出土文物时发现了一块元代穆斯林所佩戴的玉挂，所谓“玉挂”，实际上与红楼梦中的贾宝玉所佩戴的“通灵宝玉”是同一类的东西。这块玉挂上面是由16个古阿拉伯数目字组成的数学方阵。,石头奇方,传说，在遥远的上古时代，女娲娘娘炼石补天时，剩下三块石头，一块变成了大闹天宫的孙悟空，一块变成了红楼梦里的贾宝玉，另一块却掉到古天竺国，就是唐僧取经的地方，即今印度。这石头上的文字好像中国古时的甲骨文，结果还是被专家们破译出来，其图形的译文是一个“石头
3、奇方”。,石头的神奇,我们如果将右边的图44折成1个单位的小方格，如小图所示（也可以先横后竖，或先竖后横，甚至于先折成长条的形状，再折成一个小方格形状。折好之后，就要把它从下到上客观地记录下来，要注意“正”、“倒”、“上”、“下”。,石头的神奇,下面的便是两种不同的折叠法的结果：,正立数字与倒立数字各占8个，它们的和都是60。,正立数字、倒立数字、上立数字及下立数字各占8个，它们的和都是60。,正如著名的“哥德巴赫猜想”一样，迄今为止，虽然试验都是成功的，但并没有找到严格的证明。,安西王府幻方铁板幻方,安西王府幻方铁板幻方,陕西历史博物馆二楼展厅陈列着一块刻着印度 阿拉伯数码的铁板，这是 19
4、57 年在西安东郊元代安西王府遗址出土的。经专家鉴定，它是一个六阶幻方。这个幻方每行、每列及两条对角线上的 6 个数之和都相等，都是 111.这个六阶幻方不是普通的幻方，它还具有两个独特的性质。第一，该幻方还是一个二次幻方。幻方中第一行和第六行中六个数的平方和也相等：第一列和第六列中六个数的平方和也相等：第二，这个幻方去掉最外面一层，中间剩下的部分仍然是一个四阶幻方。更为奇特的是，这个4阶幻方还是一个完美幻方。,澳门回归纪念碑,什么叫幻方？,把从1到n2的连续自然数不遗漏也不重复地排列成n行n列的数字方阵，使其每行、每列以及两条对角线上n个数字之和，都等于一个定数，我们就把这样的数字方阵叫作n
5、阶幻方。阶数n是大于2的任何一个自然数。关于这个定数，由幻方性质可以推出它的计算公式为 定数=n(n21)2如：3阶幻方的定数15，4阶幻方的定数34。我国南宋时期有一位名叫杨辉的数学家，他对幻方的规律和构造方法作出了重要的贡献。他编写的一部算书中，有四阶、五阶、六阶直至十阶的幻方，而且幻方的概念也有了发展：既可以是方形的，也可以是圆形的；既可以是平面的，也可以是立体的，杨辉还画出了一个幻立方，它共有6个面，每面上的4个数字之和都等于18。,如何构造奇数阶幻方？,德拉洛贝莱法右上对角线法（1）1字排顶行正中间（2）后继的数字按自然顺序放置在右上方的方格（3）上出格下底行，右出格左底列（4）当到
6、达的方格已有数字，或到达右上角时，下一数就填在这个数字的正下方.,如何构造奇数阶幻方？,平移补空法,25,20,24,15,19,23,10,14,18,22,5,9,13,17,21,4,8,12,16,3,7,11,2,6,1,如何构造偶数阶幻方？,双偶数阶幻方的编制4阶幻方 先将四阶自然方阵的两个主对角线的数字不动，然后将其他数字作列对称调换，行对称调换,16,15,14,13,12,11,10,9,8,7,6,5,4,3,2,1,16,2,3,13,5,11,10,8,9,7,6,12,4,14,15,1,对称调换法,如何构造偶数阶幻方？,双偶数阶幻方的编制8阶幻方 先将8阶自然方阵分
7、为四个四阶方阵每个四阶方阵之主对角线的数字不动，把其他数字在大的方阵中作对称调换。,64,63,62,61,60,59,58,57,56,55,54,53,52,51,50,49,48,47,46,45,44,43,42,41,40,39,38,37,36,35,34,33,32,31,30,29,28,27,26,25,24,23,22,21,20,19,18,17,16,15,14,13,12,11,10,9,8,7,6,5,4,3,2,1,如何构造单偶数阶幻方？,6阶幻方的编制（1）将36个数字分成36/6=6组，先将16、712、1318、1924四段数字按照双曲线的形状，左右交替、自
8、上而下地排成两层，然后将余下的两段2536依次按左右、右左（织布式）由下而上填写；（2）以中间36方格为主，将左右的突出部分平移到其中空白的地方。,双曲形平移补空法,12,18,24,6,11,17,23,5,10,16,22,4,9,15,21,3,8,14,20,2,7,13,19,1,26,12,18,24,6,25,27,11,17,23,5,28,30,10,16,22,4,29,31,9,15,21,3,32,34,8,14,20,2,33,35,7,13,19,1,36,如何构造单偶数阶幻方？,26,12,18,24,6,25,27,11,17,23,5,28,30,10,16,
9、22,4,29,31,9,15,21,3,32,34,8,14,20,2,33,35,7,13,19,1,36,26,12,18,24,6,25,27,11,17,23,5,28,30,10,16,22,4,29,31,9,15,21,3,32,34,8,14,20,2,33,35,7,13,19,1,36,18,26,12,6,25,24,11,17,27,28,23,5,30,10,16,22,4,29,31,9,15,21,3,32,8,14,34,33,20,2,13,35,7,1,36,19,一点说明,构造幻方的方法有很多，前面介绍的是比较容易掌握的方法据报道，每一阶幻方的结果不是唯一的，如4阶幻方共有880种还有其他形式的“幻方”，如完全幻方，反幻方，筒形幻方，对称幻方，超级幻方，幻方群，幻立方（三维空间）,世界最高阶完美幻立方,陈大纪创立的151阶完美幻立方,
