《运筹学课件-第4讲马尔可夫决策.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《运筹学课件-第4讲马尔可夫决策.ppt（20页珍藏版）》请在三一办公上搜索。
1、引例：牛奶厂决策,最佳经营策略选择：北京地区鲜牛奶由三个厂家提供，该地区客户总数为 100 万户，假定厂家每年从每个客户那里平均获利 50 元，客户资源每月都在三个厂家之间相互流动，厂家 2 考虑从以下两套候选方案之中选择一个实施：方案一：吸引老客户，须花费 450 万元；方案二：吸引厂家 1 和厂家 3 的客户，须花费 400 万元。您有什么好的建议来帮助厂家 2 决策？,市场调查数据,今年一月份厂家 2 对 2000 名消费者进行了调查，购买厂家 1，2，3 产品的消费者人数分别为 800，600 和 600，得到市场占有率向量（概率向量）为（0.4，0.3，0.3）；同时通过询问这 20
2、00 名消费者下月的购买倾向，得到如下转移频数矩阵：,1,2,3,1,2,3,状态转移概率矩阵 P,从转移频数矩阵到状态转移概率矩阵 P：用各行总数分别去除转移频数矩阵 N 的每行各元素，得到状态转移概率矩阵 P 如下：,/800,/600,/600,均衡状态的市场占有率,在目前状态转移概率矩阵 P 下，达到均衡状态时的市场占有率记为 u；估计如果实施方案一或二以后状态转移概率矩阵分别为 P1 和 P2，他们各自对应的均衡状态时市场占有率分别为 u1 和 u2；具体数据如下：,u=（0.5，0.25，0.25）,u 1=（0.39，0.44，0.17）,u2=（0.44，0.42，0.14）,
3、厂家 2 的方案选择,有了均衡状态时的市场占有率 u，u1 和 u2，厂家 2 就能够方便地进行分别方案选择，根据前面的数据，我们知道：u=0.25，u1=0.44，u2=0.42，因此，如果采用方案一可获利：100(0.44-0.25)50 450=500（万元）如果采用方案二可获利：100(0.42-0.25)50 400=450（万元）结论：选择方案一，即吸引老客户的方案为佳。,例：人力资源预测,某高校1990年为编制师资发展规划，需要预测为了教师队伍的结构。现在对教师状况进行如下四个分类：青年，中年，老年和流退（流失或退休）。根据历史资料以及调查分析，各类教师按照一年一期的状态转移概率
4、矩阵如下，目前青年教师400人，中年教师360人，老年教师300人。试分析3年后教师的结构以及为保持编制不变，3年内应当多少硕士和博士毕业生充实教师队伍？,马尔可夫（Markov）链,随机过程：不确定变化的随机变量序列时间序列：X1，X2，Xt,，指与时间相关的离散随机变量序列状态集合：S=S1，S2，Sn，一般表示为 Xt=Si无后效性（马尔可夫性）：时间序列在 t+1 时刻（将来）的状态只与 t 时刻（现在）的状态有关而与 t 时刻之前（过去）的状态无关，即 P Xk+1=Sik+1/X1=Sik1，X2=Sik2，,Xk=Sik=P Xk+1=Sik+1/Xk=Sik马尔可夫（Marko
5、v）链：具备无后效性的时间序列。,状态转移概率矩阵 P,状态转移概率：pij 表示从状态 Si 转移到状态 Sj 的概率，记：pij=P（Sj/Si）=P（Xk+1=Sj/Xk=Si）,简称为从状态 i 到状态 j 的转移概率。状态转移概率矩阵：由状态转移概率 pij（i，j=1,2，,n）构成的 n 阶方阵 P,多步状态转移概率 pij,一步状态转移概率：用 pij(1)表示，pij(1)即 pij，表示从状态 Si 经过一个时刻转移到状态 Sj 的概率，记为：pij=pij(1)=P（Xt+1=Sj/Xt=Si）,相应的一步状态转移概率矩阵记为 P（1）=P。k 步状态转移概率：用 pij
6、(k)表示，表示从状态 Si 经过 k 个时刻转移到状态 Sj 的概率，记为：pij(k)=P（Xt+k=Sj/Xt=Si）,相应的 k 步状态转移概率矩阵记为 P（k）。P(k)与 P（1）之间的关系如何?,例：三品牌洗衣粉下月购买意愿调查,求（1）一步状态转移概率矩阵 P（1）=?（2）购买 C 品牌的顾客在未来第 2 个月购买各品牌的概率?（3）二步状态转移概率矩阵 P（2）=?您发现P（K）的一般规律了吗？,规律:P(K)=Pk,定理:k 步状态转移概率矩阵 P（k）等于一步状态转移概率矩阵 P（1）=P 的k 次幂,即P(k)=P P P=Pk,例：通过 P（1）计算 P（3）,已知
7、一步状态转移概率矩阵 P（1）=P，计算三步状态转移概率矩阵P（3）=?,固定概率向量 u,设 P 为马尔可夫（Markov）链的一步状态转移概率矩阵，如果存在概率向量 u=(u1，u2，,un)满足于 uP=u 则称 u 为 P 的固定概率向量或者均衡点示例：u 为 P 的固定概率向量引例中均衡状态时的市场占有率就是 P 的固定概率向量（均衡点）u。均衡点是否一定存在，是否唯一？,牛奶厂例：市场占有率变动表及均衡状态,正规概率矩阵,设 P 为马尔可夫链的一步状态转移概率矩阵，如果存在自然数 k 使 Pk 的所有元素都是正数，则称 P 为正规概率矩阵。正规概率矩阵的例子正规概率矩阵的判断方法：
8、看任意两状态之间是否可以相互连通（彼此到达），若是，则为正规概率矩阵，若否，则不是正规概率矩阵。,马尔可夫链基本定理,定理：设 P 为马尔可夫链的一步状态转移概率矩阵，如果 P 为正规概率矩阵，则存在唯一的由正数组成的固定概率向量（均衡点）u，并且对于任意的初始概率向量 u0，向量序列:u0 P，u0 P2，u0 Pk 以 u 为极限,即当 k 时,有 lim u0 Pk=u均衡点举例,均衡点 u 的求法,设概率向量 u 为状态转移矩阵 P 的均衡点，有：uP=u 即 u（P-I）=0，其中I为单位矩阵 等式两边取转置，得到：（PT-I）uT=0方法：联立求解以下线性方程组（PT-I）uT=0 u1+u2+un=1,例：项目选址问题,某汽车维修公司有甲、乙、丙3个维修厂。由于公司注重对员工的技术培训，树立顾客至上，信誉第一的理念，管理模式先进，所以公司在本行业具有良好的形象，形成了一定规模的客户群。对客户的调查显示，客户在甲、乙、丙3个维修厂之间的转移概率如下，由于资金的原因，公司目前打算只对其中的一个 维修厂 进行改造，并且扩大 规 模。试决定应该 选择哪个维修厂？,作业,作业本：习题1.6预习：层次分析方法决策,谢谢！再 见！,
