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1、逆矩阵矩阵的秩,学习要求,理解逆矩阵的概念,掌握逆矩阵的性质及矩阵可逆的充要条件,了解伴随矩阵的概念,会用伴随矩阵求逆矩阵;,了解分块矩阵的概念及其运算,掌握分块对角矩阵的性质;,理解矩阵的秩的概念。,引言,对于数的运算,如果对于数,存在数,使得,则称数 为数 的倒数,记作。,从而有,对于矩阵运算,是否有相似之处呢?,逆矩阵的概念,设A为n阶方阵,如果存在n阶方阵B,使得AB=BA=E,则称矩阵B为方阵A的逆矩阵,记作B=A-1.逆矩阵也称为非奇异矩阵。,例如:,所以,当然,逆矩阵存在的充分必要条件,性质,2、逆矩阵存在的充分必要条件,方阵A可逆,且,推论:如果A是n阶方阵,则,推论:如果A可
2、逆,则,注意足标的变化,1、方阵 的伴随矩阵,为元素 的 代数余子式,例1 判断下面的矩阵是否可逆,如果可逆,则求逆矩阵,解 因为,所以矩阵A可逆,所以,(2)因为,所以,矩阵B不可逆,例2 用逆矩阵求解线性方程组,解 将方程组改写成矩阵形式,得,因为,因而有,所以,系数矩阵A可逆,解 记原矩阵方程为 AXB=C,因为,所以,矩阵 A、B 都可逆,在原方程两边同时左乘 A-1,右乘 B-1,得,例3 求解矩阵方程,逆矩阵的性质,1、逆矩阵是唯一存在的。,3、若A可逆,则A-1也可逆,且.,4、若A可逆,数,则,5、若A、B为同阶可逆矩阵,则,6、若A可逆,则,7、,(此性质可将定义简化),解,
3、例4 设三阶方阵A的伴随矩阵为,且,求,矩阵的K阶子式的概念,从矩阵A中任取K行K列,其交叉位置上的元素保持相对位置不变,而构成的K阶行列式,称之为矩阵A的一个K阶子式。,如,则矩阵A共有 个二阶子式。它们是:,矩阵的秩的概念,矩阵A中所有不为零的子式的最高阶数,称为矩阵A的秩,记作 R(A)或 r(A)。,显然,如果 R(A)=r,则 A 中至少有一个 r 阶子式不等于零,所有高于 r 阶的子式都为零。,例如,因为,所以,如果 A 为 mn 矩阵,则 R(A)min(m,n)。特别当 R(A)=m 时,称矩阵 A 为行满秩;当 R(A)=n 时,称矩阵 A 为列满秩;当 R(A)=m=n 时,称矩阵 A 为满秩矩阵。,