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1、1,8.7二重积分,一、二重积分的概念与性质二、二重积分的计算三、积分区域无界的广义二重积分*,2,曲顶柱体,引例1：曲顶柱体的体积,特点：平顶.,柱体体积=？,特点：曲顶.,曲顶柱体,3,“分割,求和,取极限”思想的应用,求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示,播放,4,求曲顶柱体体积的具体步骤,用若干个小平顶柱体体积之和近似表示曲顶柱体的体积，,先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域，,曲顶柱体的体积,5,平面薄片的质量,引例2：平面薄片的质量,将薄片分割成若干小块，,取典型小块，将其近似看作均匀薄片，,所有小块质量之和近似等于薄片总质量,6,二重积分的概念,定义：设f
2、(x,y)是有界闭区域D上的有界函数,将闭区域D任意分成n个小闭区域 1,2,n,其中i表示第i个小区域,也表示它的面积;在每个i上任取一点(i,i),作乘积 f(i,i)i(i=1,2,n),并作和,;如果当各小闭区域的直径中的最大值,趋于零时,这和的极限存在,则称此极限为函数在闭,区域上的二重积分，记作,叫做被积函数,叫做被积表达式,叫做面积元素,与,叫做积分变量，,叫做积分区域，,叫做积分和。,7,关于二重积分定义的说明,(1)在二重积分的定义中，对闭区域的划分是任意的.(2)当在闭区域上连续时，定义中和式的极限必存在，即二重积分必存在.(3)在直角坐标系中,若用平行于坐标轴的直线网划分
3、,则,二重积分的几何意义,当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积,当被积函数小于零时,二重积分是柱体体积的负值,一般,D上的二重积分等于部分区域上的柱体体积,的代数和。,8,二重积分的性质(15),性质1,（k为常数）,性质2,性质3,性质4 若为D的面积,则,性质5 若在D上,则有,特别地:,9,二重积分的性质(67),性质6(估值不等式)设M、m分别是f(x,y)在闭区域D上的最大值和最小值,为D的面积,则,性质7(二重积分中值定理)设函数f(x,y)在闭区域D上连续,则在D上至少存在一点(,),使得,10,例题与讲解,例：不做计算,估计,其中D是椭圆闭区域,解,11,直角坐标下计算二重
4、积分,应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法，可以在直角坐标下计算二重积分。X-型积分区域D：,X型,其中函数、在区间 上连续.,12,X-型积分区域上计算二重积分,将二重积分的值看作以D为底,以z=f(x,y)为曲面的“曲顶柱体”体积。,应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法,垂直x轴作平行截面。,得,13,Y-型积分区域上计算二重积分,Y-型积分区域D：,Y型,垂直y轴作平行截面,14,其它类型的积分区域,X型区域的特点:穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.Y型区域的特点:穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.若区域如图，则必须分割
5、.,在分割后的三个区域上分别使用积分公式,15,例题与讲解,例：改变积分,的次序,解：,积分区域如图,16,例题与讲解,例：改变积分,的次序,解：,积分区域如图,17,例题与讲解,例：改变积分,的次序,解：,原式,18,例题与讲解,例：求积分,其中D是由抛物线,y=x2和x=y2围成的闭区域。,解：,19,例题与讲解,例：求积分,其中D是以(0,0)、,(1,1)、(0,1)为顶点的三角形区域。,解：,20,例题与讲解,例：计算积分,解：,21,例题与讲解,例：求由下列曲面所围成的立体体积,解,曲面围成的立体如图：,一个三角形.,22,利用极坐标计算二重积分,23,极坐标下化二次积分(),若积
6、分区域特征如下图,24,例题与讲解,例：写出积分,在极坐标下二次积分形式,其中积分区域,解,25,极坐标下化二次积分(2),若积分区域特征如下图,26,极坐标下化二次积分(3),若积分区域特征如下图,极坐标系下区域的面积,27,例题与讲解,例：计算,其中D 是由中心在原点,半径为a的圆周所围成的闭区域。,解,28,例题与讲解(泊松积分),例：求广义积分,解,由上例结论以及对称性知,29,例题与讲解,例：计算,其中 D为由圆,及直线,所围成,的平面闭区域。,解,30,例题与讲解,例：计算,其中积分区域为,解,31,小结,二重积分在直角坐标下的计算公式,（在积分中要正确选择积分次序）,Y型,X型,
7、二重积分在极坐标下的计算公式,32,练习(1),33,练习(2),34,练习(3),35,练习解答,36,练习解答,37,练习解答,38,练习解答,39,练习解答,40,练习解答,41,练习解答,42,练习解答,如图所示,43,练习解答,如图所示,44,练习解答,45,练习解答,46,练习解答,47,练习解答,48,练习解答,49,求“曲顶柱体”体积的演示(1),求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示,50,求“曲顶柱体”体积的演示(2),求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示,51,求“曲顶柱体”体积的演示(3),求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示,52,求“曲顶柱体”体积的演示(4),求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示,53,求“曲顶柱体”体积的演示(5),求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示,54,求“曲顶柱体”体积的演示(6),求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示,
