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1、2023/10/31,同济高等数学课件,第四节,基本积分法:,换元积分法;,分部积分法,初等函数,初等函数,一、有理函数的积分,二、可化为有理函数的积分举例,有理函数的积分,本节内容:,第四章,直接积分法;,2023/10/31,同济高等数学课件,一、有理函数的积分,有理函数:,时,为假分式;,时,为真分式,有理函数,多项式+真分 式,分解,其中部分分式的形式为,若干部分分式之和,2023/10/31,同济高等数学课件,例1.将下列真分式分解为部分分式:,解:,(1)用拼凑法,2023/10/31,同济高等数学课件,(2)用赋值法,故,2023/10/31,同济高等数学课件,(3)混合法,原式
2、=,2023/10/31,同济高等数学课件,四种典型部分分式的积分:,变分子为,再分项积分,2023/10/31,同济高等数学课件,例2.求,解:已知,例1(3),例1(3),2023/10/31,同济高等数学课件,例3.求,解:原式,思考:如何求,提示:,变形方法同例3,并利用书 P363 公式20.,2023/10/31,同济高等数学课件,例4.求,解:,说明:将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行,但不一定简便,因此要注意根据被积函数的结构寻求,简便的方法.,2023/10/31,同济高等数学课件,例5.求,解:原式,2023/10/31,同济高等数学课件,常规法,例6.求,解:原式,(
3、见P363 公式21),注意本题技巧,本题用常规方法解很繁,按常规方法解,第一步 令,比较系数定 a,b,c,d.得,第二步 化为部分分式.即令,比较系数定 A,B,C,D.,第三步 分项积分.,此解法较繁!,2023/10/31,同济高等数学课件,二、可化为有理函数的积分举例,设,表示三角函数有理式,令,万能代换(参考下页例7),t 的有理函数的积分,1.三角函数有理式的积分,则,2023/10/31,同济高等数学课件,例7.求,解:令,则,2023/10/31,同济高等数学课件,2023/10/31,同济高等数学课件,例8.求,解:,说明:通常求含,的积分时,往往更方便.,的有理式,用代换
4、,2023/10/31,同济高等数学课件,例9.求,解法 1,令,原式,2023/10/31,同济高等数学课件,例9.求,解法 2,令,原式,2023/10/31,同济高等数学课件,例10.求,解:因被积函数关于 cos x 为奇函数,可令,原式,2023/10/31,同济高等数学课件,2.简单无理函数的积分,令,令,被积函数为简单根式的有理式,可通过根式代换,化为有理函数的积分.,例如:,令,2023/10/31,同济高等数学课件,例11.求,解:令,则,原式,2023/10/31,同济高等数学课件,例12.求,解:为去掉被积函数分母中的根式,取根指数 2,3 的,最小公倍数 6,则有,原式
5、,令,2023/10/31,同济高等数学课件,例13.求,解:令,则,原式,2023/10/31,同济高等数学课件,内容小结,1.可积函数的特殊类型,有理函数,分解,多项式及部分分式之和,三角函数有理式,万能代换,简单无理函数,三角代换,根式代换,2.特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出,但不一定,要注意综合使用基本积分法,简便计算.,简便,2023/10/31,同济高等数学课件,思考与练习,如何求下列积分更简便?,解:1.,2.原式,2023/10/31,同济高等数学课件,作业,P218 3,6,8,9,13,15,17,18,20,24,第五节,2023/10/31,同济高等数学课件,备用题 1.,求不定积分,解：,令,则,故,分母次数较高,宜使用倒代换.,2023/10/31,同济高等数学课件,2.求不定积分,解：,原式=,前式令,;后式配元,
