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1、n维向量与线性方程组主要内容：（1）向量的线性相关性（2）向量组的最大无关组与秩（3）线性方程组解的结构与通解,定义：,n维行向量(或行阵)：,n维列向量(或列矩阵):,常用的记号是希腊字母,如果向量的元素在复数域上，全体n维向量记为,如果向量的元素在实数域上，全体n维向量记为,n 维向量的概念,=ai=bi,=(0,0,0),n维向量的线性运算:=(a1,a2,an),=(b1,b2,bn)，,加法：+=(a1+b1,a2+b2,an+bn),数乘：k=(ka1,ka2,kan),k R.,向量相等：=(a1,a2,an),=(b1,b2,bn),零向量：,负向量:-=(-a1,-a2,-a
2、n),向量的运算,向量空间：n维向量的全体及加法，数乘,p.104 性质,线性组合、线性方程组的向量形式,定义,注：零向量可以由任意向量线性表出,使得,线性组合的全体.,注：,例,注：可由 线性表出。,向量的线性表示与线性方程组的关系,例 将=(1,0,-4)T 用 1=(0,1,1)T,2=(1,0,1)T,3=(1,1,0)T 线性表出.,解,例 下述向量中哪个不能由其余的向量线性表示,向量组之间的关系,向量组线性表示的定义：,若向量组（）的任意向量都能由向量组（）线性表示，同时向量组（）的任意向量也都能由向量组（）线性表示。,向量组等价的性质：（）反身性（）对称性（）传递性,若向量组（）
3、的任意向量量都能由向量组（）线性表示。,向量组等价的定义：,加推论1,2,3,向量的线性表示与向量组之间线性表示的矩阵方法,矩阵方法,线性相关性,定义I,等价定义II,则称此向量组线性相关，否则称为线性无关,使得,注：,3、两个向量组成的 向量组线性相关,向量的各分量对应成比例,注：,4、从几何角度解释：两个三维向量线性相关，表示这两个相向量在空间共线，三个三维向量线性相关，表示这三个相向量在空间共面,例 讨论下列 n 维向量组的相关性,其中,向量的线性相关性与线性方程组的关系,其中,其中,推论：设 是n维向量组，则 线性相关。,推论1：若向量组中有部分向量线性相关，则该向量组线性相关；若向量
4、组线性无关，则部分向量构成的向量组也线性无关。,推论2：若向量组线性相关，则其截短向量组（向量组各向量截取一些对应位置的元素）也线性相关；若向量组线性无关，则其延长向量组（向量组各向量增加一些对应位置的元素）也线性无关。,线性表示唯一性定理,若 可由,加例子,向量组的线性表示与线性相关,线性无关的充要条件为,证明：,的矩阵表示为,其中,由于 是 线性无关性的.,所以：的线性相关性取决于矩阵A的秩，即，若其秩等于s，则向量组线性无关，否则线性相关,是否有非零解，,因而这问题变为讨论 AX=0 是否有非零解。,则 必线性相关。,且 线性无关，则,则,且两组向量都线性无关，,且 线性无关，则 线性无
5、关，且这两组向量等价。,向量组的极大线性无关组的定义：,(1)线性无关(2)每个向量都可以由 线性表出,则称 为极大线性无关组,对向量组 若存在部分向量的向量组 满足:,向量组的秩,向量组的秩定义,规定,由零向量组成的向量组的秩为0,性质,向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为向量组的秩.记,4.等价向量组必有相同的秩,5.若 则向量组中任意 r 个线性无关向量都是它的一个极大线性无关组.,例1,解：易证两向量组等价，所以,向量组的秩与矩阵秩的关系,1.矩阵A的行秩=A的列秩=R(A),证,例 求向量组的秩，一个极大线性无关组，并将其它向量用所求的极大线性无关组线性表示,解：,解：,注意：初
6、等变换求向量组的秩及极大线性无关组的方法。,矩阵秩的一些结论,（2）设A，B分别为mr矩阵和rn矩阵，则,（1）设A，B为mn矩阵，则,（4）设A，B分别为mn和ns矩阵，且AB0，则 R(A)R(B)n.,（3）*定理(Sylvester)设A，B分别为mn及ns矩阵，则 R(AB)R(A)R(B)n.,(3)的证明 设R(A)=r,R(B)=s,所以存在可逆矩阵P，Q 使得,而，R(C1)=R(ABQ)=R(AB)，所以 R(AB)+(n-s)R(C)=R(A),即，R(AB)R(A)R(B)n.,(4)可以由(3)得到，还可以由齐次线性方程组解的结构的（后续）,因为 而 C1 含有C 的
7、S个列向量，所以 R(C1)+(n-s)R(C)=R(A),例 设A为mn矩阵，B为nm矩阵，nm,证明：(AB)X=0有非零解。证明 显然AB为mm方阵，另外一方面，,因此 AB的 m个列向量线性相关，即(AB)X=0 有非零解。,齐次线性方程组有非零解的条件,讨论齐次线性方程组,若记,则 齐次线性方程组可表示为 AX=0(2)其中矩阵A称为齐次线性方程组的系数矩阵。,若,都是齐次线性方程组（1）解，则,也是齐次线性方程组（1）的解,齐次线性方程组解的结构,齐次线性方程组（1），当它的系数矩阵的秩r=n时，只有零解；当它的系数矩阵的秩rn时，有无穷多个解。,当齐次线性方程组有无穷多个解时，如
8、何描述它的所有的解呢？下面我们对解的情况进行讨论。,假定1，2，k为齐次线性方程组的k个解向量，如果（a）1，2，k线性无关；（b）齐次线性方程组的任意解向量是1，2，k的线性组合，则称1，2，k为齐次线性方程组的一个基础解系。,基础解系,与极大线性无关组的概念比较,与极大线性无关组的问题比较,基础解系的求法(举例说明),例 求齐次线性方程组的基础解系,例 求齐次线性方程组的基础解系,由于上面假设D0，即系数矩阵A的前r列 列向量线性无关，因此经过有限次初等行变换可得矩阵A的行最简阶梯型为,假设其系数矩阵的秩 R（A）=r 0，为了方便起见，不妨设,一般的基础解系的求法,令x=（x1，x2，x
9、n）是齐次线性方程组（1）的任意解，则,易知 1，2，n-r 是齐次线性方程组的解，并且它们线性无关,上式又说明，齐次线性方程组的任意解均为1，2，n-r的线性组合。那么1，2，n-r 就是齐次线性方程组的基础解系。,定理 如果齐次线性方程组的系数矩阵的秩r=n，它有唯一零解，此时它没有基础解系；如果齐次线性方程组的系数矩阵的秩rn，它有无穷多个解，此时它有基础解系，其基础解系包含n-r个解向量，齐次线性方程组的任意解为其基础解系的线性组合。,如果1，2，n-r为齐次线性方程组的基础解系，则其任意线性组合 x=k11+k22+kn-rn-r 称为齐次线性方程组的通解。（k1，k2，kn-r为任
10、意实数）,命题：设 R(A)=r,则齐次线性方程组AX=0的任意n-r个线性无关的解向量都可以作为它的基础解系。,求齐次线性方程组的基础解系有以下步骤：(1)用初等行变换将齐次线性方程组的系数矩阵 化为行最简形，依此得到齐次线性方程组 同解线性方程组；(2)根据同解线性方程组写出其基础解系和通解。,例 求解齐次线性方程组,解 对系数矩阵作初等行变换：,为自由未知量,通解：,例 设A，B分别为 mn 和 ns 矩阵，且 AB0，则 R(A)R(B)n.,用齐次方程组解得性质证明下列结论;,设B按列分快为,这意味着：,即 是齐次方程组AX=0 的解,（I）当r=n时，Ax=0 只有零解，故B=0，
11、结论成立。(II)当rn时，因此B的列向量能由Ax=0基础解系 线性表示(基础解系含有 n-r 个解)从而B的列向量组的秩nr，即 R(B)nr，故R(A)+R(B)n。,设 设齐次线性方程组AX=0的基础解系,证明 也是齐次线性方程组的基础解系,例,非 齐 次 线 性 方 程 组,非齐次线性方程组解得结构 典型例题,非齐次线性方程组,若记,则非齐次线性方程组可表示为 AX=b,非齐次线性方程组解的结构,性质1 设 都是非齐次线性方程组的解，则 是其对应齐次线性方程组的解。,性质2 设 是非齐次线性方程组的解，是对应齐次线性方程组 Ax0 的解，则 仍是非齐次线性方程组的解。,非齐次线性方程组
12、的通解（一般解）可表示为 其中 为任意实数,是非齐次线性方程组的一个解（称为特解）,是 对应齐次线性方程组Ax=0 的基础解系。,结论：,例 求解线性方程组,解 对其增广矩阵B作初等行变换：,由于 R（A）=2，而R（B）=3，则线性方程组无解。,例 求解线性方程组,解 对增广矩阵B作初等行变换：,可见 R(A)=R(B)=2,则线性方程组有解,其同解方程组为,取 为自由未知量,即得通解,是任意实数,有唯一解、无解、有无穷多个解？并求其唯一解和通解。,例3 问a，b为何值时，线性方程组,解法一解法二,解法一(一般解法):对其增广矩阵进行初等行变换,1）当a1时，R(A)=R(B)=4，这时原方
13、程组有唯一解为,(i)若b1，R(B)=3R(A)，这时方程组无解。,(ii)若b=1，R(B)=2=R(A)，这时方程组有无穷多个解。,与原方程组同解的方程组为：,则方程组的通解为：,例4 设A为n阶矩阵，证明 R（A）=R（AA）。,由于若AX=0，有AAX=0，这说明凡是 AX=0的解 必为AAX=0的解。,证明：,另一方面，若,则,故AAX=0与AX=0的同解。,这说明凡是AAX=0的解必为AX=0的解。,两齐次线性方程组同解，意味着它们的基础解系包含的向量个数相等，亦即有：,n R(A)=nR(AA),所以 R(A)=R(AA).,例5 已知齐次线性方程组,的一个基础解系为,解 我们
14、记线性方程组(1)(2)的系数矩阵分别为A，B，,由于,为（1）的一个基础解系，则矩阵A，B的秩都为n，并且,从而,从而A的n个行向量的转置向量构成了（2）的一个基础解系，于是（2）的通解为,其中可k1，k2，kn为任意实数。,例6 设 是非齐次线性方程组Ax=b的一个解，是其对应齐次线性方程组 Ax=0 的一个基础解系，证明 是非齐次线性方程组的 n-r+1 个线性无关的解向量，并且非齐次线性方程组的任意解向量可表为：其中,证 显然 是非齐次线性方程组的nr1个解向量，,先证其线性无关。假定,那么有,则*是 的线性组合，因此，*是齐次线性方程组的解向量，这与假设矛盾,若,所以，,故,因此,线性无关得证,此例说明，非齐次线性方程组的任意解向量可用该方程组自身的nr1个解向量的线性组合来表示，但其组合系数必等于1。这是非齐次线性方程组的任意解向量的另一种表示方式。,再证非其次线性方程组任意解向量的表示,因为-*是齐次线性方程组的解向量,是其对应齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系,那么有,即,其中,即,
