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1、10.7 梁的弯曲变形及刚度条件,7-1,概述,目录,目录,概述,目录,概述,10.7.1 梁的挠曲线近似微分方程,一、基本概念,挠曲线方程：,由于小变形，截面形心在x方向的位移忽略不计,挠度转角关系为：,挠度w：截面形心在w方向的位移。,转角：截面绕中性轴转过的角度。,7-2,二、挠曲线的近似微分方程,推导弯曲正应力时，得到：,忽略剪力对变形的影响,挠曲线近似微分方程,目录,由数学知识可知：,略去高阶小量，得,挠曲线近似微分方程,目录,当w轴向上时,取正号计算,挠曲线近似微分方程为：,由上式进行积分，就可以求出梁横截面的转角和挠度。,挠曲线近似微分方程,目录,10.7.2 用积分法求弯曲变形
2、,挠曲线的近似微分方程为：,积分一次得转角方程为：,再积分一次得挠度方程为：,7-3,目录,积分常数C、D 由梁的位移边界条件和光滑连续条件确定。,位移边界条件,光滑连续条件,弹簧变形,目录,用积分法求弯曲变形,例 求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度，梁的EI已知，l=a+b，ab。,解,1）由梁整体平衡分析得：,2）弯矩方程,AC 段：,CB 段：,目录,用积分法求弯曲变形,3）列挠曲线近似微分方程并积分,AC 段：,CB 段：,目录,用积分法求弯曲变形,4）由边界条件确定积分常数,代入求解，得,位移边界条件,光滑连续条件,目录,用积分法求弯曲变形,5）确定转角方程和挠度方程,
3、AC 段：,CB 段：,目录,用积分法求弯曲变形,6）确定最大转角和最大挠度,令 得，,令 得，,目录,用积分法求弯曲变形,讨 论,积分法求变形有什么优缺点？,目录,条件：材料服从胡克定律和小变形 挠度和转角均与载荷成线性关系。,叠加原理：承受复杂载荷时，可分解成几种简单 载荷，利用简单载荷作用下的位移计 算结果，叠加后得在复杂载荷作用下 的挠度和转角。,用叠加法求弯曲变形,目录,例3 已知简支梁受力如图示，q、l、EI均为已知。求C 截面的挠度wC；B截面的转角B,1）将梁上的载荷分解,2）查表得3种情形下C截面的挠度和B截面的转角。,解,目录,用叠加法求梁的变形,3）应用叠加法，将简单载荷
4、作用时的结果求和,目录,例4 已知：悬臂梁受力如图示，q、l、EI均为已知。求C截面的挠度wC和转角C,1）首先，将梁上的载荷变成有表可查的情形,为了利用梁全长承受均布载荷的已知结果，先将均布载荷延长至梁的全长，为了不改变原来载荷作用的效果，在AB 段还需再加上集度相同、方向相反的均布载荷。,解,目录,3）将结果叠加,2）再将处理后的梁分解为简单载荷作用的情形，计算各自C截面的挠度和转角。,目录,思考题：求图示简支梁的wc.,目录,B,求图示外伸梁的A截面挠度和B截面转角。,可采用逐段刚化方法求解,思考题,目录,结构形式叠加（逐段刚化法)原理说明,+,=,B,求图示外伸梁的A截面挠度和B截面转
5、角。,A截面挠度,思考题,B截面转角,目录,讨 论,叠加法求变形有什么优缺点？,目录,梁的刚度校核,刚度条件,建筑钢梁的许可挠度：,机械传动轴的许可转角：,精密机床的许可转角：,7-5,目录,根据要求，圆轴必须具有足够的刚度，以保证轴承B 处转角不超过许用数值。,B,1）由计算的承受集中载荷的外伸梁B 处的转角为：,解,目录,例5 已知钢制圆轴左端受力为F20 kN，al m，l2 m，E=206 GPa。轴承B处的许可转角=0.5。根据刚度要求确定轴的直径d。,B,2）由刚度条件确定轴的直径：,例5 已知钢制圆轴左端受力为F20 kN，alm，l2m，E=206 GPa。轴承B处的许可转角=
6、0.5。根据刚度要求确定轴的直径d。,目录,10.8 用变形比较法解简单超静定梁,1.基本概念：,超静定梁：支反力数目大于有效平衡方程数目的梁,多余约束：从维持平衡角度而言,多余的约束,超静定次数：多余约束或多余支反力的数目。,2.求解方法：,解除多余约束，建立相当系统比较变形，列变形协调条件由物理关系建立补充方程利用静力平衡条件求其他约束反力。,相当系统：用多余约束力代替多余约束的静定系统,7-6,目录,解,例6 求梁的支反力，梁的抗弯刚度为EI。,1）判定超静定次数,2）解除多余约束，建立相当系统,目录,3）进行变形比较，列出变形协调条件,用变形比较法解简单超静定梁,4）由物理关系，列出补
7、充方程,所以,4）由整体平衡条件求其他约束反力,目录,用变形比较法解简单超静定梁,解除BC杆的约束代之以约束反力,解：,以悬臂粱作为静定基,变形协调方程为：,求梁的支反力,目录,例7 梁AB 和BC 在B 处铰接，A、C 两端固定，梁的抗弯刚度均为EI，F=40kN，q=20kN/m。求约束反力。,从B 处拆开，使超静定结构变成两个悬臂梁。,变形协调方程为：,物理关系,解,用变形比较法解简单超静定梁,目录,代入得补充方程：,确定A 端约束力,用变形比较法解简单超静定梁,确定B 端约束力,用变形比较法解简单超静定梁,A、B 端约束力已求出,用变形比较法解简单超静定梁,一、降低 Mmax,合理安排
8、支座,合理布置载荷,6-7,10.9 提高梁承载能力的措施,合理布置支座,目录,合理布置支座,目录,改变支座形式,目录,合理布置支座,合理布置载荷,使 M max 尽可能小,合理布置载荷,目录,合理布置载荷,目录,改变载荷类型,目录,合理布置载荷,超静定梁,目录,采用超静定结构,目录,采用超静定结构,目录,二、减小梁的跨长,6-7,减小梁的跨长对提高梁的刚度尤为明显,是提高梁刚度的重要措施.,10.9 提高梁承载能力的措施,目录,三、选用合理截面,增大WZ,合理设计截面,合理放置截面,6-7,10.9 提高梁承载能力的措施,目录,合理放置截面,目录,合理设计截面,目录,充分利用材料特性合理设计
9、截面,脆性材料：,宜上下不对称截面：,T 形，不等边工字型，不等边矩形框等；,中性轴偏向受拉区的一侧,理想的中性轴的位置:应是最大拉应力和最大压应力同时达到许用应力。,目录,讨论：1.钢筋混凝土楼板，钢筋应该铺设在哪一边？,目录,2图示两根T形截面的铸铁梁，从强度考虑放置合理的是图。,(a),等强梁的应用,等截面梁WZ为常数，但横力弯曲时弯矩M是随截面位置变化的。只有|M|max位置的横截面上应力达到。不合理！,宜采用变截面梁，且应使各横截面上的最大应力都达到。等强度梁,目录,等强梁的应用,目录,小结,1 平面弯曲的概念；受力特征，变形特征。,3 弯矩、剪力和分布载荷集度之间的微分关系。,2 梁弯曲的内力剪力 弯矩,小结,4 了解纯弯曲梁弯曲正应力的推导方法,5 熟练掌握弯曲正应力的计算、弯曲正应力强度条件及其应用,目录,6 明确挠曲线、挠度和转角的概念,7 掌握计算梁变形的积分法和叠加法,8 学会用变形比较法解简单超静定问题,目录,小结,谢谢 再见！,
