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1、量纲分析法建模,定义：表示一个物理量如何由基本量的组合所形成的式子.,量纲作用,1）可定出同一物理量不同单位间的换算关系.,3）从量纲分析中定出方程中比例系数的量纲和单位.,2）量纲可检验公式的正误.,量 纲,某一物理量 的量纲,量纲分析法建模,例1、在万有引力公式中，引力常数G是有量纲的，根据量纲齐次性，G的量纲为M-1L3T-2，其实，在一量纲齐次的公式中除以其任何一项，即可使其任何一项化为无量纲，因此任一公式均可改写成其相关量的无量纲常数或无量纲变量的函数。例如，与万有引力公式 相关的物理量有：G、m1、m2、r和F。现考察这些量的无量纲乘积 的量纲为由于 是无量纲的量，故应有：,此方程
2、组中存在两个自由变量，其解构成一个二维线性空间。取（a,b）=（1,0）和（a,b）=（0,1），得到方程组解空间的一组基（1,0,2,-2,-1）和（0,1,-1,0,0），所有由这些量组成的无量纲乘积均可用这两个解的线性组合表示。两个基向量对应的无量纲乘积分别为：,而万有引力定律则可写 成f(1,2)=0，其对应的显函数为：1=g(2)，即,万有引力定律,量纲齐次原则,用数学公式表示一物理定律时，等号两端必须保持量纲的一致,所谓量纲分析就是利用量纲齐次原则来寻求物理量之间的关系,下面用一个简单的例子来说明,单摆运动：质量为m的小球系在长度为l的线一端，作单摆运动求其周期t的表达式,在这个问
3、题中出现的物理量有t,m,l,g，设他们之间有关系,1-4,按照量纲齐次原则应有：,1-5,可得出其解为,得,1-6,例2、赛艇成绩的比较(比例模型),八人赛艇比赛和举重比赛一样，分 成86公斤的重量级和 73公斤的轻量级。1971年，比较了1964-1970年期间两次奥运会和两次世锦赛成绩，发现 86公斤级比73公斤级的成绩大约好5%，产生这一差异的原因何在呢？,考察优秀赛艇选手在比赛中的实际表现可以发现，整个赛程大致可以分三个阶段，即初始时刻的加速阶 段、中途的匀速阶段和到达终点的冲刺阶段。由于赛程较长，可以略去前后两段而只考虑中间一段，为此，提出以下建模假设。,故,令WH=86,WL=7
4、3,则有由于SL略小于SH，故轻量级所化时间比重量级所化时间约 多5%左右。,例3 崖高的估算,假如你站在崖顶且身上带着一只具有跑表功 能的计算器，你也许会出于好奇心想用扔下 一块石头听回声的方法来估计山崖的高度，假定你能准确地测定时间，你又怎样来推算 山崖的高度呢，请你分析一下这一问题。,方法一,我学过微积分，我可以做 得更好，呵呵。,令k=K/m，解得,代入初始条件 v(0)=0，得c=g/k，故有,再积分一次，得：,若设k=0.05并仍设 t=4秒，则可求 得h73.6米。,听到回声再按跑表，计算得到的时间中包含了 反应时间,进一步深入考虑,不妨设平均反应时间 为0.1秒，假如仍 设t=
5、4秒，扣除反应时间后应 为3.9秒，代入 式，求得h69.9米。,多测几次，取平均值,再一步深入考虑,实际解答 对现实对象的描述、分析、预报、决策、控制等结果,始于现实世界并终于现实世界,例4 一场笔墨官司,美国原子能委员会（现为核管理委员会）处理浓缩放射性废物，是将废物放入密封性能很好的圆桶中，然后扔到水深300英尺的海里.他们这种做法安全吗？,分析 可从各个角度去分析造成危险的因素，这里仅考虑圆桶泄露的可能.,联想：安全、危险,问题的关键,1）圆桶至多能承受多大的冲撞速度？(40英尺/秒),2）圆桶和海底碰撞时的速度有多大？,问题转为求这种桶沉入300英尺的海底时的末速度.（原问题是什么?
6、）,可利用的数据条件：,圆桶的总重量 W=527.327（磅）,圆桶受到的浮力 B=470.327（磅）,圆桶下沉时受到的海水阻力 D=Cv，C=0.08,思路 利用牛顿第二定律，建立圆桶下沉位移y(t)满足的微分方程：,方程的解为,计算触底时的碰撞速度，需确定圆桶和海底的碰撞时间 t0=？,分析 考虑圆桶的极限速度,713.86（英尺/秒）40（英尺/秒）,实际极限速度与圆桶的承受速度相差巨大！,结论 解决问题的方向是正确的.,解决思路 避开求t0的难点,令 v(t)=v(y(t),其中 y=y(t)是圆桶下沉位移,代入(1)得,两边积分得函数方程：,若能求出函数v=v(y),就可求出碰撞速
7、度v(300).(试一试),*用数值方法求出v(300)的近似值为,v(300)45.41（英尺/秒）40（英尺/秒）,*分析 v=v(y)是单调上升函数，而v 增大,y 也增大,可求出函数 y=y(v),两种解决思路：,令 v=40(英尺/秒)，g=32.2(英尺/秒),y=238.4(英尺)300（英尺）,算出,泊肃叶定律,泊肃叶定律的实验基础,法国医学家泊肃叶首先对细管中缓慢流动的液体进行了研究。研究发现，在长度为，半径为R的管中流动的液体，当管的两端的压强差为P1-P2时，比值（P1-P2）L（压力梯度）与流量Q成线性关系，当该比值一定时,Q与R4成正比，即：,其比例系数由维德曼首先从
8、理论推导得出为，即：,上式称为泊肃叶定律。,、泊肃叶定律的推导,(1)、速度分布,其它流层与该流层的作用面积S=2 rL，由于牛顿粘性定律可知，作用于该圆柱形流体元上的粘性阻力，式中负号表示随r 的增大而减小。,当流体做定常流动时，以上两力大小必然相等，即：,整理后得出,上式说明：从管轴（r=0)到管壁(r=R)，速度梯度，随r 的增大而增大，在r=R,处速度梯度最大。,上式分离变量并取定积分得：,上式表明了牛顿流体在水平圆管中流动时，流速随半径的变化关系。在管轴（r=0)处流速有,最大值，即速度的最大值与管的半径R的平方成正比，与压力梯度（P1-P2)/L成正比。,随r的关系曲线为抛物线。,
9、（2）流量,上式称为泊肃叶定律。,若设Rf=8L/R4，则上式可写成,上式两边同时积分得：,上式表明粘性流体在等截面水平细圆管中稳定流动时，流量Q与管子两端的压强差P成正比，与Rf成反比。,Rf称为流阻，在生理学中常称为外周阻力。,流阻Rf的大小决定于管的长度、内半径和流体的粘度，可用来表示粘性流体在管中通过时所表现的阻滞程度。,质量为m的匀质柔软链条，全长为L，手持一端。使下端离地面的高度为h，然后由静止释放，让其自由下落到地面。求链条落在地面上的长度为l 时，地面所受链条的作用力大小。,分析：落到地上l 后，再考虑落下dl一小段，在dt时间内，速度变为0。,l 一段的质量为：lm/L,此段下落到地的速度为：,动量守恒定律,对dl一小段，由动量定律：,其中：dl/dt=v，所以，地面受力：,第三节 动量守恒定律,质量为m的小球最初位于A点，然后沿半径为R的光滑圆弧面下滑。求小球在任一位置时的速度和对圆弧面的作用。,任一位置用角度表示，那么要建立速度和角度之间的关系,牛顿运动定律,牛顿运动定律,
