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1、2023/10/31,1,第六章弯曲变形,1明确挠曲线、挠度和转角的概念，深刻理解梁挠曲线近似微分方程的建立。2掌握计算梁变形的积分法和叠加法。3了解梁的刚度条件。,基本要求,2023/10/31,2,6-1 引 言,一工程实际中的弯曲变形,2023/10/31,3,1挠曲线：梁在弯矩作用下发生弯曲变形。如果在弹性范围内加载，梁的轴线在梁弯曲后变成一连续光滑曲线。这一连续光滑曲线称为弹性曲线（elastic curve），或挠度曲线（deflection curve），简称弹性线或挠曲线。,二基本概念,2023/10/31,4,2挠度与转角,梁在弯曲变形后，横截面的位置将发生改变，这种位置的改
2、变称为位移。梁的位移包括三部分：,2023/10/31,5,挠度曲线在一点的曲率与这一点处横截面上的弯矩、弯曲刚度之间存在下列关系：,规定：向上的挠度为正，向下的挠度为负。逆时针转角为正，顺时针转角为负。,挠曲线方程：,w=w（x）,转角方程：,q=q（x）,2023/10/31,6,在Oxw坐标系中，挠度与转角存在下列关系：,在小变形条件下，挠曲线较为平坦，即很小，因而上式中tan。于是有,2023/10/31,7,力学中的曲率公式,数学中的曲率公式,6-2 挠曲线的微分方程,2023/10/31,8,小挠度情形下,弹性曲线的小挠度微分方程，式中的正负号与 w 坐标的取向有关。,2023/1
3、0/31,9,由于规定挠度向上为正，有,挠曲线微分方程,仅适用于线弹性范围内的小变形的平面弯曲问题。,2023/10/31,10,6-3 用积分法求弯曲变形,对于等截面梁，应用确定弯矩方程的方法，写出弯矩方程M(x)，代入上式后，分别对x作不定积分,得到包含积分常数的挠度方程与转角方程：,其中C、D为积分常数。,转角方程,挠度方程,2023/10/31,11,弹簧变形,积分常数C、D由边界条件和梁段间光滑连续条件或中间绞链连续条件确定。,位移边界条件,光滑连续条件,2023/10/31,12,确定约束力,判断是否需要分段以及分几段,分段建立挠度微分方程,微分方程的积分,利用约束条件和连续光滑条
4、件确定积分常数,确定挠度与转角方程以及指定截面的挠度与转角,分段写出弯矩方程,分段点：集中力、集中力偶、分布载荷起止点、EI不同,积分法求解步骤,2023/10/31,13,例6-1 已知：悬臂梁受力如图示，F、l、EI均为已知。求：梁的挠曲线、转角方程及最大挠度和转角,2023/10/31,14,解：,由边界条件：,得：,2023/10/31,15,梁的转角方程和挠曲线方程分别为：,最大转角和最大挠度分别为：,2023/10/31,16,例6-2 已知：简支梁受力如图示。F、EI、l、a、b均为已知。试：讨论这一梁的弯曲变形。,2023/10/31,17,解：,2023/10/31,18,由
5、连续和光滑条件：,得：,得：,由边界条件：,2023/10/31,19,梁的转角方程和挠曲线方程分别为：,AC段,CB段,最大转角：,当ab时，qB为最大转角。,2023/10/31,20,AC段,CB段,最大挠度：,当q=0时，w为极值。,当ab时，q=0的截面在AC段。,2023/10/31,21,6-4 用叠加法求弯曲变形,在材料服从胡克定律和小变形的条件下，由小挠度曲线微分方程得到的挠度和转角均与载荷成线性关系。因此，当梁承受复杂载荷时，可将其分解成几种简单载荷，利用梁在简单载荷作用下的位移计算结果，叠加后得到梁在复杂载荷作用下的挠度和转角。,叠加方法（superposition me
6、thod）,叠加原理,载荷叠加、变形叠加,2023/10/31,22,例6-3 已知：简支梁受力如图示，q、l、EI均为已知。求：C截面的挠度wC；B截面的转角B,2023/10/31,23,2023/10/31,24,例6-4 已知：外伸梁受力如图示，F、l、a、EI均为已知。求：C、D截面的挠度和转角。（D 为AB中点）,2023/10/31,25,2023/10/31,26,AB段挠曲线和转角方程：,得：,2023/10/31,27,例6-5 已知：F、l、EI均为已知。求：B截面的挠度和转角。,2023/10/31,28,2023/10/31,29,2023/10/31,30,例6-6
7、 已知：悬臂梁受力如图示，q、l、EI均为已知。求：C截面的挠度wC和转角C,2023/10/31,31,方法一：,2023/10/31,32,方法二：,2023/10/31,33,例6-7 已知：图示组合梁，F=qa，EI为已知。求：截面B的挠度和截面A的转角。,2023/10/31,34,例6-8 已知：悬臂梁受力如图，Me=Fa/2。试画出挠曲线的大致形状。设抗弯刚度EI为常数。,2023/10/31,35,例6-9 图示刚架结构。试求C点的水平和垂直位移。,2023/10/31,36,例6-10 图示等截面刚架，自由端承受集中载荷F的作用，试求自由端的铅垂位移。设弯曲刚度EI与扭转刚度
8、GIt均为已知常数。,2023/10/31,37,6-5 简单超静定梁,2023/10/31,38,3相当系统 在静定基上加上外载荷以及多余约束力，得到受力和变形与静不定梁完全相同的相当系统。,2静定基 将静不定梁上的多余约束除去后所得到的“静定基本系统”。,1静不定梁约束反力数目多于静力平衡方程数目的梁。,一静不定梁的概念,2023/10/31,39,3在静定基上计算多余约束处的变形后，代入变形协调条件，建立补充方程，解出多余约束反力。,2建立变形协调条件；将相当系统与静不定梁相比较，在多余约束处，找到变形协调条件。,1判断梁的静不定次数，解除多余约束，建立静定基；,二静不定梁的解法,202
9、3/10/31,40,例6-11 一悬臂梁AB，承受集中载荷F作用，因其刚度不够，用一短梁加固，如图所示。试计算梁AB的最大挠度的减少量。设二梁各截面的弯曲刚度均为EI。,2023/10/31,41,解：加固前，AB梁的最大挠度,加固后,由wC1=wC2，得,此时AB梁的最大挠度：,仅为前者的60.9%。,2023/10/31,42,w许用挠度q许用转角,梁的刚度条件,2023/10/31,43,例6-12 已知：钢制圆轴，左端受力为FP，FP=20 kN，a=l m，l=2 m，E=206 GPa，其他尺寸如图所示。规定轴承B处的许用转角q=0.5。,试：根据刚度要求确定该轴的直径d。,B,
10、2023/10/31,44,中心架,1、如卸荷装置、中心架（或跟刀架）,卸荷带轮,一改善结构形式，减小弯矩的数值。,6-6 提高弯曲刚度的一些措施,2023/10/31,45,3、缩小跨距,2、合理安排梁的约束与加载方式,选用弹性模量E较高的材料也能提高梁的刚度。但是，对于各种钢材，弹性模量的数值相差甚微，因而与一般钢材相比，选用高强度钢材并不能提高梁的刚度。,二选择合理的截面形状。,三合理选择材料,2023/10/31,46,本 章 小 结,1挠度和转角的正负方向确定,2掌握用积分法求梁的挠曲线和转角方程,积分常数根据边界条件和连续条件确定。,3根据弯矩图确定挠曲线的形状,2023/10/31,47,6提高梁刚度主要措施 减小梁的跨度和弯矩；提高梁的抗弯刚度EI。,4 弯曲变形叠加原理,5 弯曲变形的静不定问题,2023/10/31,48,本 章 作 业,P1976-1（a、b）、6-3（b、d）、6-10（d）、6-11（c）、6-21、6-29、6-35,
