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1、模块四 微分方程,可分离变量的微分方程,课 题 一,1.理解微分方程的概念;,2.理解微分方程解的概念;,教学目标,3.能够求出可分离变量的微分方程的通解和特解。,课题提出,关于人口的增长，有一种理论认为：人口的增长率与当时的人口总数成正比我国人口统计的数据显示，1990年我国的人口总数约为11.6亿，且在此后的18年中，人口年平均增长率约为14,如果保持这个增长率不变，试确定人口总数与时间的函数关系式R=R（t），并预测到2020年时我国的人口总数。,课题分析,根据导数的本质，“课题”中所谓的人口增长率就是人口总数对于时间的变化率 或,由“课题”中所给的条件“人口的增长率与当时的人口总数成正
2、比”可得方程,且该方程还满足条件,含有未知函数的导数的方程，如何求解呢？,相关知识,一、微分方程的定义,积分问题,微分方程问题,推广,含未知函数及其导数的方程叫做微分方程.,方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程的阶。,实质:联系自变量,未知函数以及未知函数的某些导数(或微分)之间的关系式。,的速度行驶,制动时,获得加速度,求制动后列车的运动规律。,解 设列车在制动后 t 秒行驶了s 米,已知,由前一式两次积分,可得,利用后两式可得,因此所求运动规律为,说明:利用这一规律可求出制动后多少时间列车才能停住,以及制动后行驶了多少路程。,即求 s=s(t)。,例 列车在平直路上以,使方程成为恒
3、等式的函数。,微分方程的解,1.通解:微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同。,如,通解,通解,二、微分方程的解,确定通解中任意常数的条件。,定解条件,2.特解:确定了通解中任意常数以后的解。,通解:,特解:,是微分方程,的解,的特解。,解,这说明,是方程的解。,是两个独立的任意常数,故它是方程的通解。,并求满足初始条件,例 验证函数,是微分方程,的解,的特解。,解,是方程的通解。,利用初始条件易得:,故所求特解为,并求满足初始条件,例 验证函数,中不含任意常数,故为微分方程的特解。,解:,例,三、可分离变量的微分方程,具有如下形式的一阶微分方程:,称为可分离变量的微
4、分方程。,1.定义,2.可分离变量的微分方程的解法,1.分离变量,2.两边积分,可得到所求未知函数式y=y(x)，并含有一个任意常数C，即得通解。,3.求出特解,的通解。,解 分离变量得,两边积分,得,即,(C 为任意常数),或,说明:在求解过程中每一步不一定是同解变形,因此可能增、,减解。,(此式含分离变量时丢失的解 y=0),例1 求微分方程,解 分离变量得,两边积分得,即,由初始条件得 C=1,(C 为任意常数),故所求特解为,例2 求微分方程,满足初始条件,的特解。,子的含量 M 成正比,求在,衰变过程中铀含量 M(t)随时间 t 的变化规律。,解 根据题意,有,(初始条件),对方程分
5、离变量,即,利用初始条件,得,故所求铀的变化规律为,然后积分:,已知 t=0 时铀的含量为,例3 已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原,成正比,求,解 根据牛顿第二定律列方程,初始条件为,对方程分离变量,然后积分:,得,利用初始条件,得,代入上式后化简,得特解,并设降落伞离开跳伞塔时(t=0)速度为0,例4 设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度,降落伞下落速度与时间的函数关系。,t 足够大时,例5 有高为1 m的半球形容器,水从它的底部小孔流出,小孔横截面积为1cm2(如图).开始时容器内盛满了水,求水从小孔流出过程中容器里水面的高度h(水面与孔口中心间的距离)随时间t的变化规律。,解
6、：由力学知识得,水从孔口流出的流量为,设在微小的时间间隔,水面的高度由h降至,比较(1)和(2)得:,即为未知函数的微分方程。,可分离变量,分离变量得：,所求规律为,一阶线性微分方程,课 题 二,1.理解一阶线性微分方程的概念;,教学目标,2.能够求出一阶线性微分方程的通解和特解。,课题提出,如图闭合电路是RL 串联电路,其中电动势E=15V,电感L=0.5H,电阻R=10,如果开始时(t=0时),回路电流为,试求该电路在任何时刻电流。,R,K,L,课题分析,设电路在任意时刻t的电流为i=i(t),由回路电压定律,其中,末知函数i=i(t)满足微分方程,且满足初始条件,微分方程中i及 指数为1
7、,R,K,L,例如,线性;,非线性。,一阶线性微分方程标准形式:,若 Q(x)=0,称为非齐次方程。,称为齐次方程;,一、一阶线性微分方程的定义,相关知识,1.齐次方程,分离变量,两边积分得,故通解为,通解公式,2.非齐次方程,二、一阶线性微分方程的解法,解,例 求方程的通解。,在闭合回路中,所有支路上的电压降为 0,电阻 R 和电,解 列方程。,已知经过电阻 R 的电压降为R i,经过 L的电压降为,因此有,即,初始条件:,由回路电压定律:,例 有一电路如图所示,其中电源,求电流,感 L 都是常量,解方程:,由初始条件:,得,利用一阶线性方程解的公式可得,解的意义:,因此所求电流函数为,的新
8、鲜空气,问每分钟应输入多少才能在 30 min后使车间空,的含量不超过 0.06%?,提示:设每分钟应输入,t 时刻车间空气中含,则在,内车间内,两端除以,并令,与原有空气很快混合均匀后,以相同的流量排出)。,得微分方程,(假定输入的新鲜空气,输入,的改变量为,例 已知某车间的容积为,t=30 时,因此每分钟应至少输入 250,新鲜空气。,初始条件,得,k=?,代入公式,二阶常系数齐次线性微分方程,课 题 三,1.理解二阶常系数齐次线性微分方程及其特征方程的概念;,教学目标,2.掌握二阶常系数齐次线性微分方程的求解方法和步骤。,课题提出,一架质量m=9500kg的某型飞机在降落触地的瞬间，机尾
9、张开减速伞，以增大阻力,使飞机迅速减速并停下.如果该飞机着陆时的水平速度是，经测试，减速伞打开后，飞机受到的总阻力与飞机的速度成正比（比例系数），那么，从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？现在某就近机场只有一段长度为1.5km的跑道可供使用，试问这架飞机是否可以在该机场备降？,。,课题分析,已知飞机质量m=9500kg,比例系数,着陆时的水平速度是,设飞机在着陆后在任意时刻t的滑行距离为s=s(t),则,根据牛顿第二定律 F=ma,由飞机受到的净力=飞机推动力+飞机受到的综合阻力,即：ma=0-kv,得微分方程,这是一个二阶微分方程。,一、二阶常系数齐次线性微分方程的定义,相关知识,定义
10、具有以下形式的二阶微分方程叫做二阶常系数齐次线性微分方程，即,或,其中p、q为常数,方程的特点是：方程中含有最高为二阶的导数或微分；未知函数及其各阶导数的系数都是常数；常数项为零；未知函数及其导数的次数都是一次。,如：,称为微分方程的特征方程,其根称为特征根。,特征方程与特征根,如：二阶常系数齐次线性方程,相应的特征方程,解得两个相同的特征根,二、二阶常系数齐次线性微分方程的解法,实根,相关知识,1.写出微分方程 所对应的特征方程,2.求出特征方程的两个特征根,3.根据两个特征根，由下表写出微分方程的通解。,基本思路:,求解常系数线性齐次微分方程,求特征方程(代数方程)之根,转化,由常系数齐次
11、线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为特征方程法。,的通解。,解 特征方程,特征根:,因此原方程的通解为,例 求解初值问题,解 特征方程,有重根,因此原方程的通解为,利用初始条件得,于是所求初值问题的解为,例 求,解,特征方程为,解得,故所求通解为,例 求方程 的通解。,解,位移满足自由振动方程,例 质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上,在无外力作用下做自由运动,初始,求物体的运动规律,立坐标系如图,设 t=0 时物体的位置为,取其平衡位置为原点建,方程:,特征方程:,特征根:,利用初始条件得:,故所求特解:,方程通解:,(1)无阻尼自由振动情况(n=0),简谐振动,A:振幅,:初相,周期:,固有频率,(仅由系统特性确定),解的特征:,方程:,特征方程:,特征根:,（1）n k,这时需分如下三种情况进行讨论:,（2）n k,（3）n=k,(2)有阻尼自由振动情况,
