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1、第 1 章模糊集的基本概念,模糊数学是研究和处理模糊性现象的数学方法.众所周知，经典数学是以精确性为特征的.,然而，与精确形相悖的模糊性并不完全是消极的、没有价值的.甚至可以这样说，有时模糊性比精确性还要好.例如,要你某时到某地去迎接一个“大胡子高个子长头发戴宽边黑色眼镜的中年男人”.尽管这里只提供了一个精确信息男人，而其他信息大胡子、高个子、长头发、宽边黑色眼镜、中年等都是模糊概念，但是你只要将这些模糊概念经过头脑的综合分析判断，就可以接到这个人.模糊数学在实际中的应用几乎涉及到国民经济的各个领域及部门，农业、林业、气象、环境、地质勘探、医学、经济管理等方面都有模糊数学的广泛而又成功的应用.
2、,1.2 模糊理论的数学基础,经典集合 经典集合具有两条基本属性：元素彼此相异，即无重复性；范围边界分明,即一个元素x要么属于集合A(记作xA),要么不属于集合(记作xA)，二者必居其一.,集合的表示法：(1)枚举法，A=x1,x2,xn；(2)描述法，A=x|P(x).AB 若xA，则xB；AB 若xB，则xA；A=B AB且 AB.,集合A的所有子集所组成的集合称为A的幂集，记为(A).,并集AB=x|xA或xB；交集AB=x|xA且xB；余集Ac=x|xA.,集合的运算规律 幂等律：AA=A，AA=A；交换律：AB=BA，AB=BA；结合律：(AB)C=A(BC)，(AB)C=A(BC)
3、；吸收律：A(AB)=A，A(AB)=A；,分配律：(AB)C=(AC)(BC)；(AB)C=(AC)(BC)；0-1律：AU=U，AU=A；A=A，A=；还原律：(Ac)c=A；对偶律：(AB)c=AcBc，(AB)c=AcBc；排中律：AAc=U，AAc=；,U 为全集，为空集.,集合的直积：X Y=(x,y)|xX,y Y.,映射与扩张,映射 f：X Y集合A的特征函数：,特征函数满足：,取大运算,如23=3,取大运算,如23=2,扩张：点集映射 集合变换,二元关系,X Y 的子集 R 称为从 X 到 Y 的二元关系，特别地，当 X=Y 时，称之为 X 上的二元关系.二元关系简称为关系.
4、若(x,y)R，则称 x 与 y 有关系，记为R(x,y)=1；若(x,y)R，则称 x 与 y 没有关系，记为R(x,y)=0.映射 R:X Y 0,1实际上是 X Y 的子集R上的特征函数.,关系的三大特性：,设R为 X 上的关系(1)自反性：若 X 上的任何元素都与自己有关系R，即R(x,x)=1，则称关系 R 具有自反性；(2)对称性：对于X 上的任意两个元素 x,y，若 x 与y 有关系R 时，则 y 与 x 也有关系R，即若R(x,y)=1，则R(y,x)=1，那么称关系R具有对称性；(3)传递性：对于X上的任意三个元素x,y,z，若x 与y 有关系R，y 与z 也有关系R 时，则
5、x与z 也有关系R，即若R(x,y)=1，R(y,z)=1，则R(x,z)=1，那么称关系R具有传递性.,关系的矩阵表示法,设X=x1,x2,xm,Y=y1,y2,yn，R为从 X 到 Y 的二元关系，记rij=R(xi,yj)，R=(rij)mn，则R为布尔矩阵(Boole)，称为R的关系矩阵.布尔矩阵(Boole)是元素只取0或1的矩阵.,关系的合成,设 R1 是 X 到 Y 的关系,R2 是 Y 到 Z 的关系,则R1与 R2的合成 R1 R2是 X 到 Z 上的一个关系.,(R1R2)(x,z)=R1(x,y)R2(y,z)|yY,关系合成的矩阵表示法,设 X=x1,x2,xm,Y=y
6、1,y2,ys,Z=z1,z2,zn，且X 到Y 的关系R1=(aik)ms，Y 到 Z 的关系R2=(bkj)sn，则X 到Z 的关系可表示为矩阵的合成：R1 R2=(cij)mn，其中cij=(aikbkj)|1ks.,定义：若R为 n 阶方阵，定义R 2=R R，R 3=R 2 R,例 设 X=1,2,3,4,Y=2,3,4,Z=1,2,3,R1 是 X 到 Y 的关系,R2 是Y 到 Z 的关系,R1=(x,y)|x+y=6,=(2,4),(3,3),(4,2),R2=(x,y)|y z=1,=(2,1),(3,2),(4,3),则R1与 R2的合成,R1 R2=(x,y)|x+z=5
7、,=(2,3),(3,2),(4,1).,合成()运算的性质：,性质1：(A B)C=A(B C)；性质2：Ak Al=Ak+l，(Am)n=Amn；性质3：A(BC)=(A B)(A C)；(BC)A=(B A)(C A)；性质4：O A=A O=O，I A=A I=A；性质5：AB，CD A C B D.,O为零矩阵，I 为 n 阶单位方阵.AB aijbij.,关系三大特性的矩阵表示法：,设R为 X=x1,x2,xn 上的关系，则其关系矩阵R=(rij)nn 为 n 阶方阵.,(1)R具有自反性 I R；(2)R具有对称性 RT=R；(3)R具有传递性 R2R.,若R具有自反性，则,I
8、R R2 R3,下面证明：,R具有传递性 R2R.,R=(rij)nn,设R具有传递性,即对任意的 i,j,k，若有rij=1，rjk=1，则有rik=1.对任意的 i,j，若(rikrkj)|1kn=0，则(rikrkj)|1knrij.若(rikrkj)|1kn=1，则存在1sn，使得(risrsj)=1，,即ris=1,rsj=1.,由于R具有传递性，则rij=1，所以(rikrkj)|1kn=rij.综上所述 R2R.,设R2R，则对任意的 i,j,k，若有 rij=1，rjk=1，即(rijrjk)=1，因此(risrsk)|1sn=1，由R2R，得rik=1，所以R具有传递性.,集
9、合上的等价关系,设 X 上的关系R具有自反性、对称性、传递性，则称R为 X 上的等价关系.若x与y 有等价关系R，则记为 x y.集合上的等价类 设 R是X 上的等价关系，xX.定义x的等价类：xR=y|yX，y x.集合的分类 设 X 是非空集，Xi 是 X 的非空子集，若Xi=X，且XiXj=(i j)，则称集合族 Xi 是集合 X 的一个分类.,定理：集合X 上的任一个等价关系R可以确定X 的一个分类.即,(1)任意 xX，xR非空；(2)任意 x,yX，若x与y 没有关系R，则xRyR=；(3)X=xR.证:(1)由于R具有自反性，所以xxR，即 xR非空.(2)假设 xRyR,取zx
10、RyR，则z与x有关系R，与y也有关系R.由于R具有对称性，所以x与z有关系R，z与y也有关系R.又由于R具有传递性，x与y也有关系R.这与题设矛盾.(3)略.,例 设X=1,2,3,4,定义关系,R 1：xixj；R 2：xi+xj为偶数；R 3：xi+xj=5.,则关系R1是传递的，但不是自反的，也不是对称的；容易验证关系R2 是X上的等价关系；关系R3是对称和传递的，但不是自反的.,按关系R2可将X分为奇数和偶数两类，即X=1,32,4.按关系R3可将X分为两类，即X=1,42,3.,格,设在集合L中规定了两种运算与,并满足下列运算性质：,幂等律：aa=a，aa=a；交换律：ab=ba，
11、ab=ba；结合律：(ab)c=a(bc)，(ab)c=a(bc)；吸收律：a(ab)=a，a(ab)=a.,则称L是一个格，记为(L,).,设(L,)是一个格，如果它还满足下列运算性质：,分配律：(ab)c=(ac)(bc),(ab)c=(ac)(bc).,则称(L,)为分配格.,若格(L,)满足：0-1律：在L中存在两个元素0与1，且a0=a，a0=0，a1=1，a1=a，则称(L,)有最小元 0 与最大元 1，此时又称(L,)为完全格.,若在具有最小元0与最大元1的分配格(L,)中规定一种余运算c，满足：,还原律：(ac)c=a；互余律：aac=1，aac=0，,则称(L,c)为一个Bo
12、ole代数.,若在具有最小元0与最大元1的分配格(L,)中规定一种余运算c，满足：,还原律：(ac)c=a；对偶律：(ab)c=acbc，(ab)c=acbc，,则称(L,c)为一个软代数.,例1 任一个集合A的幂集(A)是一个完全格.,格中的最大元为A(全集)，最小元为(空集)，并且(J(A),c)既是一个Boole代数，也是一个软代数.,例2 记0,1上的全体有理数集为Q，则(Q,)是一个完全格.格中的最大元为1，最小元为0.若在Q中定义余运算c为ac=1-a，则(Q,c)不是一个Boole代数，但它是一个软代数.,1.3 模糊子集及其运算,模糊子集与隶属函数,设U是论域，称映射A(x)：
13、U0,1确定了一个U上的模糊子集A，映射A(x)称为A的隶属函数，它表示x对A的隶属程度.使A(x)=0.5的点x称为A的过渡点，此点最具模糊性.当映射A(x)只取0或1时，模糊子集A就是经典子集，而A(x)就是它的特征函数.可见经典子集就是模糊子集的特殊情形.,例 设论域U=x1(140),x2(150),x3(160),x4(170),x5(180),x6(190)(单位：cm)表示人的身高，那么U上的一个模糊集“高个子”(A)的隶属函数A(x)可定义为,也可用Zadeh表示法：,模糊集的运算,相等：A=B A(x)=B(x)；包含：AB A(x)B(x)；并：AB的隶属函数为(AB)(x
14、)=A(x)B(x)；交：AB的隶属函数为(AB)(x)=A(x)B(x)；余：Ac的隶属函数为Ac(x)=1-A(x).,例 设论域U=x1,x2,x3,x4,x5(商品集)，在U上定义两个模糊集：A=“商品质量好”，B=“商品质量坏”，并设,A=(0.8,0.55,0,0.3,1).B=(0.1,0.21,0.86,0.6,0).,则Ac=“商品质量不好”,Bc=“商品质量不坏”.,Ac=(0.2,0.45,1,0.7,0).Bc=(0.9,0.79,0.14,0.4,1).,可见Ac B,Bc A.,又 AAc=(0.8,0.55,1,0.7,1)U,AAc=(0.2,0.45,0,0.
15、3,0).,模糊集的并、交、余运算性质,幂等律：AA=A，AA=A；交换律：AB=BA，AB=BA；结合律：(AB)C=A(BC)，(AB)C=A(BC)；吸收律：A(AB)=A，A(AB)=A；分配律：(AB)C=(AC)(BC)；(AB)C=(AC)(BC)；0-1律：AU=U，AU=A；A=A，A=；还原律：(Ac)c=A；,对偶律：(AB)c=AcBc，(AB)c=AcBc；,对偶律的证明：对于任意的 xU(论域)，(AB)c(x)=1-(AB)(x)=1-(A(x)B(x)=(1-A(x)(1-B(x)=Ac(x)Bc(x)=AcBc(x),模糊集的运算性质基本上与经典集合一致，除了
16、排中律以外，即AAc U，AAc.模糊集不再具有“非此即彼”的特点，这正是模糊性带来的本质特征.,1.4 模糊集的基本定理,模糊集的-截集A是一个经典集合，由隶属度不小于的成员构成.例：论域U=u1,u2,u3,u4,u5,u6(学生集)，他们的成绩依次为50,60,70,80,90,95，A=“学习成绩好的学生”的隶属度分别为0.5,0.6,0.7,0.8,0.9,0.95，则,A0.9(90分以上者)=u5,u6,A0.6(60分以上者)=u2,u3,u4,u5,u6.,定理1 设A,B(U)(A,B是论域U 的两个模糊子集)，,0,1，于是有-截集的性质：,(1)AB AB；(2)A A；(3)(AB)=AB，(AB)=AB.,定理2(分解定理)设A(U)，xA，则A(x)=，0,1，xA 定义(扩张原理)设映射 f：X Y，定义f(A)(y)=A(x)，f(x)=y,1.5 隶属函数的确定,1.模糊统计方法,与概率统计类似，但有区别：若把概率统计比喻为“变动的点”是否落在“不动的圈”内，则把模糊统计比喻为“变动的圈”是否盖住“不动的点”.,2.指派方法,一种主观方法，一般给出隶属函数的解析表达式。,3.借用已有的“客观”尺度,
