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1、积分模型的应用,积分模型,积分模型，即运用定积分及相关理论建立数学模型；定积分常用于计算变量连续变化的累积变化总量；积分模型常用于描述对象连续变化的效果；,Mathematica相关命令,Integrate被积函数,自变量 功能：计算被积函数的一个原函数Integrate被积函数,自变量,下限,上限 功能：计算被积函数在区间下限,上限上的定积分值NIntegrate被积函数,自变量,下限,上限 功能：计算被积函数在积分区间上的定积分值的近似值,例子,计算 的原函数；计算；,生产成本收益问题,设生产电冰箱的边际成本函数和边际收益函数分别为：工厂厂房及生产设备总值22万元；分析工厂的生产成本、收益
2、和利润。,问题分析,边际成本：在原有生产规模基础上再生产一个（批）产品的生产成本变化量；边际收益：在原有生产规模基础上再生产一个（批）产品的收益变化量；厂房、生产设备属固定成本与产量无关；问题目标是要得出工厂成本、收益和利润与产量的函数关系；,变量假设,设成本函数为C(x)，收益函数为R(x)，利润函数为L(x)；当一件产品都不生产时，生产成本就含固定成本，即C(0)=22；生产成本=固定成本+可变成本；当一件产品都不生产时，没有收益，即R(0)=0；利润=收益-成本，即L(x)=R(x)-C(x)；,函数关系,成本函数：收益函数：利润函数：,模型求解,成本函数：收益函数：利润函数：求解过程见
3、文件“生产成本收益问题”；,模型评价,求出成本，收益和利润函数的意义：确定相应的最优策略；如工厂是自负盈亏的，则依据利润函数确定最优产量；如工厂是企业内部一个生产车间，则依据成本函数确定最优产量；,太阳能利用问题,目前新技术使太阳能作为路灯照明能源成为可能，其原理是日间利用安装在路灯顶上的太阳能电池板将太阳光转化为电能贮存于太阳能电池中，为夜间路灯照明提供电力；使用这种新技术首要解决的问题就是为每个路灯安装多少块太阳能电池板；,问题分析,太阳能总量应等于夜间照明所需能量；太阳能与每天日照时间和日照强度有关；获得的太阳能总量与太阳能电池板的面积成正比；,变量假设,路灯功率：250w；太阳光照图如
4、右图：图中太阳光照强度单位：十瓦/m2太阳能电池板转化效率为：70%；太阳能电池板标准规格为0.5m2/块；求解目标为一盏路灯要安装多少块太阳能电池板；,函数关系,路灯照明用电量函数：；太阳光照强度函数：；路灯照明时间长度与太阳光照时间长度总和为24小时；太阳能总量：；,模型求解,太阳能总量：；路灯照明电量：；求解过程见“太阳能照明问题”；,合理减肥,体重指数BMI=w(kg)/l2(m2)18.525 超重；BMI30 肥胖；多数减肥食品达不到减肥目标，或不能维持；通过控制饮食和适当的运动，达到减轻体重并维持下去的目标；,合理减肥,体重增加正比于吸收的热量每7700卡增加体重1千克；代谢引起
5、的体重减少正比于体重每天每公斤体重消耗25卡 34卡(因人而异)；运动引起的体重减少正比于体重，且与运动形式有关；为了安全与健康，每周体重减少不宜超过1.5千克；,合理减肥,某甲体重100千克，每天饮食摄入热量3300卡现欲每周减肥1千克；如何通过跑步运动合理减肥？一般慢跑运动热理消耗图示：单位为：百卡/时；,问题分析,减少的体重转化为能量就是减肥要消耗的能量；每天慢跑消耗热量=饮食吸入热量-正常代谢消耗热量+减肥体重产生的热量；如果每天体重减少，正常代谢消耗的热量也在减少；问题复杂，仅以第一周减肥计划为例；,变量及函数关系,每天减肥热量：Q1=1*7700/7=1100；设体重在第d天为w(
6、d)，w(1)=100；第d+1天体重为w(d+1)=w(d)-1/7；第d天正常代谢热量：Q2(d)=30w(d)；第d天慢跑需要消耗的热量：Q(d)=3300-Q2(d)+Q1；设第d天慢跑时间长度为L；,模型求解,求解过程见文件“合理减肥”；模型可能无合理解；如每天饮食摄入热量为4000卡；,模型分析,慢跑运动最佳效果在12小时左右；模型解在1.5小时左右，说明要减肥，必须运动必须达到一定量；随着体重的减少，要保持减肥效果必须加大运动量或减少食量；运动逐渐加大，符合人体规律；饮食控制与运动是达到减肥目标的两大决定因素；,模型分析,以后各周原理与第一周相同，只是每周的初始体重w(1)不同；考虑不做运动，节食减肥的情况：饮食吸入热量=正常代谢消耗的热量-减肥体重产生的热量；如上例：饮食吸入热量=30w(d)-1100；饮食吸入热量随时间推移增加；有违常情，难以实现；,模型分析,考虑每天分n段时间慢跑，则第d天慢跑需要消耗的热量Q(d)与慢跑时间长度为L关系为：,
