《计算方法第五章.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《计算方法第五章.ppt（34页珍藏版）》请在三一办公上搜索。
1、第五章数值微积分,第一节 等距节点求积公式1.1基本求积公式本章研究核心课题：给定一个已知 f(x)，求其在区间上的积分。方法：给出一组节点后，利用函数在这组节点的插值多项式近似代替函数进行积分，从而求出积分的近似值。,记：则得到插值型求积公式，通常称为牛顿柯特斯公式：显然，公式的计算误差为：等距节点时，记，求积系数为：,为方便计算，引入此时，牛顿柯特斯公式变为：这里，我们称 为柯特斯系数，下面的表中给出了常用的柯特斯系数。,柯特斯系数表,n=1时，称为梯形公式，n=2时，称为Simpson公式（辛浦生），n=4时，称为柯特斯公式(Cotes)，,1.2复化求积公式计算积分时，常常将积分区间分
2、成许多小区间，在每个小区间上应用基本积分公式，再相加得到新的求积公式，这种公式称为复化求积公式。复化梯形公式，区间 n 等分，分点为，步长：,区间2n等分，则得到复化辛浦生公式,例：利用各种公式计算sinx在区间0,/2上的积分。结果为：梯形公式：0.7854Simpson公式：1.0023柯特斯公式：0.9999复化梯形公式：100个点计算结果，0.99978复化辛浦生公式：100个点计算结果，0.999987准确值：cos(0.0)-cos(/2)=0.999987,DOUBLE PRECISION h,sum,sum1，paiinteger n OPEN(10,FILE=INPUT.DA
3、T,STATUS=UNKNOWN)OPEN(20,FILE=OUTPUT.DAT,STATUS=UNKNOWN)pai=3.14159h=pai/2/4sum=pai*(32*sin(h)+12*sin(2*h)+32*sin(3*h)+7*sin(4*h)/180.0 n=100 sum1=0.0h1=pai/2/100do 10 i=1,99 sum1=sin(i*h1)+sum110 continue sum1=(sin(0.0)+sum1*2+sin(100*h1)*h1/2write(20,*)sum,sum1END,变步长积分法：实际计算中，常常采取如下策略：事先给出某个步长（可以
4、稍大一点），然后逐次减半，直到某前后两次计算的偏差 在精度范围内为止。对于梯形法，步长二分前后梯形公式值有如下递推关系式：首先，设步长为，等分后得：,类似的可以得到变步长的辛浦生公式：,例：计算积分，直到相邻两次计算绝对值小于0.01精确值数值结果用辛浦生公式可以看出，对于同一步长，辛浦生公式计算比梯形公式好!,1.3 代数精度与待定系数法：一般地，取 内若干个(n个)节点 处的函数值，求积公式可以表示为：定义：称求积公式具有m阶（代数）精度，如果它对于一切不超过m次多项式是准确的，但对于m+1次多项式不准确。取 f(x)=1,x，容易推出系数满足：,1.4 广义皮亚诺定理广义皮亚诺定理：设下
5、面的积分计算公式具有m阶代数精度则其计算误差为：,1.5 求积公式的舍入误差舍入误差分析表明：求积分公式的系数一般要大于零！n较大时的牛顿柯特斯公式由于有系数小于零，所以不能用！,第二节 龙贝格积分法复化梯形公式计算值与积分精确值之间有如下关系(h为步长)：因此，用 作为积分精确值 的近似值，误差为：容易看出：则,由此可得龙贝格积分法（逐次分半加倍法或梯形公式外推法）：的计算误差为。下面，给出龙贝格积分法在计算机上实现的具体计算步骤。引入记号，i 表示将区间a,b i 等分。步骤如下：,1、求2、把区间二等分，计算3、把区间再对分（设 等分）计算，依次计算最后求出4、如，则可以将 作为积分的值
6、，否则继续按照第三步计算。,计算流程为（称为 T 数表）：,用梯形公式计算,例：计算首先：按流程得下表,第三节 高斯型求积公式更一般地，研究带权函数的积分本节目的：研究 n+1 个节点的求积公式的代数精度。可以证明，上面公式的代数精度不超过2n+1，称具有2n+1阶代数精度的如上所示的求积公式为高斯型公式。,n 个节点对于高斯求积分公式，有如下结论：1、代数精度不超过2n+12、代数精度mn的充要条件是：这里，是拉各朗日插值基函数。3、代数精度为m=2n+1的充要条件是节点为a,b上相对权函数的n+1次正交多项式的零点，且积分公式的系数满足,高斯公式的构造：1、节点：节点选为区间a,b上关于权
7、函数 的 n+1 次正交多项式 的零点，2、系数：为拉格朗日插值基函数，则高斯积分公式的系数为高斯公式为3、误差：,常用的高斯型求积公式：1、GaussLegendre（高斯勒让德）公式2、GaussLaguerre（高斯拉盖尔）公式,3、GaussHermite（高斯埃尔密特）公式4、高斯切比雪夫公式,第四节 数值微分4.1 基本数值微分公式：方法：利用插值多项式代替被求导的函数进行求导运算，将求出的导数作为函数的导数值。于是：特别，在节点处导数值为：,在等距节点情况下，可得常用的数值微分公式：1、两点公式：2、三点公式：,3、二阶数值微分公式：,代数精度：如果数值导数公式对于所有不超过 n
8、 阶多项式是准确的，称此公式具有 n 阶代数精度。利用代数精度的概念，可以用待定系数法构造具有一定代数精度的数值导数公式。例：确定系数，使公式具有尽可能高的代数精度。解：取函数，带入上面公式，得方程,4.3 外推法利用泰勒公式,4.4样条函数法：N个节点的样条函数插值公式为其中的系数是节点处的二阶导数值，可以由三对角线性代数方程组求出。对上式直接求导函数的1、2、3阶数值导数公式。,设,小结1、本章所介绍的数值积分公式和数值微分公式，其核心思想是用插值多项式作为近似，从而求出积分和微分。2、诸多求积公式中，无疑复化Simpson公式具有较好的计算精度以及较为简单的表达式，这在具体计算和编程中会带来好处。3、利用代数精度的概念，可以用待定系数法确定求积和求导公式。3、外推法是一种获得高精度计算结果的算法。,
