选择权仍一金融工具.ppt

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1、選擇權 Options,區國強,選擇權仍一金融工具，讓其持有者在指定的日期以指定的價格有權去買或去賣特定資產有權去買稱買權 call options有權去賣稱賣權 put options若執行選擇權，必定利潤為正賣選擇權者稱 writer,理論上，美式選擇權的執行利潤必定大過歐式選擇權的執行利潤實務上，上述差異極小，因為投資者可以在公開市場上再賣出,K:執行價格 exercise priceC:買權之價值P:賣權之價值S:現貨價F:期貨價,Long 買權之期終收入:Long 賣權之期終收入:,如現貨價 St接近執行價格 K，稱為 at-the-money 如執行選擇權，可獲利潤，則其現貨價 S

2、t稱為in-the-money如執行選擇權，無利潤可言，則其現貨價 St稱為out-of-the-money,因選擇權在到期日必定有利潤(最少為零)，故選擇權契約為有價資產(最少為零)，必需先支付非負的價格，始可獲得，些稱為貼水(premium)。故評價選擇權，必需把此貼水轉換為到期日時的未來值(Cert 或Pert),賣權-買權平價 Put-call parity,買特定資產的交易收益，可分解為對該資產a long call+a short put，因若資產價格上升，其收益可用long call表示；若資產價格下跌，其損失可用short put表示，此簡單關係連結了call 與 put 的價

3、值，故稱為賣權-買權平價,Put-call parity,表列Put-call parity,若無套利行為，則無收益資產Put-call parity:有收益成長率為 r*之Put-call parity:,例題(1999 FRM Exam Q.35),根據Put-call parity，賣一個賣權等同:A.買一個買權，買股票，借出錢；B.賣一個買權，買股票，借入錢；C.賣一個買權，買股票，借出錢；D.賣一個買權，賣股票，借入錢；,例題(2002 FRM Exam Q.47),兩年期的歐式買權價值$50，其執行價格為$140，現貨價$100，每年支付股利2%，年利率為5%；則執行價格為$140

4、的兩年期的歐式賣權價值為:A.$77B.$10C.$90D.$81,例題(2002 FRM Exam Q.25),年利率為6%，一無股利之股票，現價$20，執行價格為$18的六個月歐式買權的賣價為$4，同執行價格、同履約期的歐式賣權的賣價為$1.47，此三種資產(股票、買權及賣權)的訂價是否一致?A.否，有價值$2.00的套利機會B.否，有價值$2.53的套利機會C.否，有價值$14.00的套利機會D.是,選擇權的組合,Short Covered call:買入資產+short a callLong protective put:買入資產+long a putLong straddle(同時買

5、賣相同履約期及執行價格的買權及賣權):long a call+long a putShort straddle:short a call+short a putStrangle:不同的執行價格的組合(因 strangle為out-of-money,故較straddle便 宜),價差 spread,牛價差 bull spread:預期價格上升:1.以較低的執行價格 K1 買一個買權2.以較高的執行價格 K2 賣一個買權淨成本:C(S,K1)-C(S,K2)0如果 ST K2，淨收益:,例題(2001 FRM Exam Q.90),用選擇權契約投機，下列何者風險最大?A.使用買權去設立一個價差B.

6、買賣權C.賣買權D.賣賣權,例題(1999 FRM Exam Q.33),下列何者構成一個牛價差 bull spread?A.買一個執行價格=50的賣權；賣一個執行價 格=55的賣權B.買一個執行價格=55的賣權；賣一個執行價 格=50的賣權C.買一個貼水=5的買權；賣一個貼水=7的買 權D.買一個執行價格=50的買權；賣一個執行價 格=55的賣權,例題(2000 FRM Exam Q.5),考慮一個bullish spread:以$3買入一個執行價格為$30的買權；並以$1.50賣出一個執行價格為$40的買權。若在履約日，股票價格升至$42，則此bullish spread的淨利潤為:A.$

7、8.50B.$9.00C.$9.50D.$12.50,例題(2002 FRM Exam 42),考慮一熊市發策略:以$7買入一個執行價格為$50的賣權、以每個$4賣出兩個執行價格為$42的賣權、及以$2買入一個執行價格為$37的賣權，全部選擇權的到期日皆相同。若在到期日，資產以$33交易，則上述熊市發策略的淨利潤為:A.$1B.$2C.$3D.$4,選擇權評價的下限,不管是買權抑或賣權，其價值必不為負，故根據Put-call parity，可分別得出其下限:,美式選擇權是否應提早執行,(假定資產無股利)買權：可選擇提早執行或賣出契約提早執行之利潤:St K賣出契約之利潤下限:因故絕不提早執行買

8、權契約,賣權:可選擇提早執行或賣出契約提早執行之利潤:K St賣出契約之利潤下限:因提早執行之利潤大過賣出契約之利潤下限,故可能提早執行。若利率低或資產有支付高股利，則降低提早執行的可能性。,例題(1999 FRM Exam 34),一歐式買權剩一年到期，執行價格為80，年利率為5%，若現貨價為90，則該買權的買價下限為:A.14.61B.13.90C.10.00D.5.90,風險中立(risk-neutral)定價,Binomial process:假定利率 r=25%S1=150,C1=50S0=100S2=50,C2=0,假定發生第一種情形的機率為 p，則一風險中立的投資者要求:同理，選

9、擇權的定價為,Black-Scholes 定價,假定:1.價格連續變動2.利率固定並已知3.資產的變異數固定 4.完美市場(無稅、無運輸成本、放空無 限制、市場連續運作),資產價格的统計程序為 geometric Brownian motion(GBM):在一極短的時間區間(dt)，對數報酬率為平均數=dt、變異數=2dt 的常態分配，總報酬率依循第一項的平均變動，第二項為隨機變動，dz為平均數=0、變異數=dt的常態分配,期終價格:為N(0,1)的標準常態分配,買權定價:N(d)為常態分配的累加分配,根據 put-call parity，歐式賣權之定價:例:現貨價 S=100，年利率為5%，

10、執行價格K=100，=20%，則半年期的買權及賣權分別為何?,Call的價值可視為等同於購買N(d1)=59.77%現貨，並借入c=$59.77-$52.88=$6.89現金，故為現貨的槓干部位買權亦可用風險中立的折現方式表示,右邊第一項積分為不執行的折現值，第二項積分為執行的折現值，故其為K的折現值乘上執行該選擇權(S K)的機率，因此風險中立之執行選擇權的機率為,B-S模型的延伸,Merton(1973)把証劵支付連續紅利(q)加入B-S 模型中，則買權之價值為：有趣的是，如果選擇權趨向更 in-the-money(即S大過K許多)，導致K-S 買權方程式中的d1與d2很大，使 N(d1)

11、及N(d2)趨向一，令K-S 買權價值為：,此變成遠期契約的訂價公式，因為極度 in-the-money的選擇權買權，幾可決定必會被執行，故等於直接買遠期契約Back(1976)把上述支付紅利的情形從現貨選擇權延伸至期貨選擇權，惟現貨的紅利為現金，期貨的 隱含紅利則為無風險利率,簡單以期貨價格 F 替代現貨價格 S，買權之價值為:B-S訂價模型的全部係數，除了波動(volatility)外，皆可直接觀察，如果我們以市場價格替代模型價格，則volatility可以用標準差代替，稱為隱含標準差(implied standard deviation,ISD),如果B-S模型是對的，則不論執行價格 K

12、之高低，ISD皆固定，但實際上，在較高及較低的執行價格，ISD皆增加，此稱為波動微笑(volatility smile)，此現象在許多市場皆出現，並隨時間的改變而變動。在1987/10股市大崩盤前，此微笑現象的影响並大；大崩盤後，其影响就愈來愈嚴重且複雜,例題(2001 FRM Exam Q.91),現價=100；執行價格=110；無風險利率=10%，期限=0.5年，N(d1)=0.457185；N(d2)=0.374163，請計算B-S模型的買權價值:A.$10.90B.$9.51C.$6.57D.$7.92,例題(1998 FRM Exam Q.2),在B-S買權訂價模型中，何者表示選擇權

13、會否執行的機率:A.d1B.d2C.N(d1)D.N(d2),其他選擇權,二項選擇權(binary options，或稱數位選擇權，digital options)：如果資產價格超過執行價格，則支付一固定金額 Q，故其價值I(x)稱為指標變數(indicator variable),因 in-the-money時執行的機率為N(d2)，故此選擇權的期初買權價值為：因為價值在執行價格附近不連續(ST低過K，價值為零；ST高過K，價值為Q)，故很難避險,關卡選擇權(barrier options)：H為一事先指定的價格水準，S在整個契約期內:擊倒(knock-out):若 SH，則契約生效,Dow

14、n-and-out call:如 S H，則買權失效Up-and-in call:如 S H，則買權生效賣權之情況雷同,Down-and-out call加上down-and-in call等於一般的歐式買權:C=CDO+CDI因為買權的價值必定非負，故CDO 與 CDI的貼水絕不會大過一般的歐式買權 C因為較便宜，也意味執行的機率較低在H附近不連續，故很難避險,亞式選擇權(Asian options):在期終結算時，不以期終現貨價 ST，而以整個契約期內的平均現貨價為計算標準，其期終價值為:因以平均現貨價計算，volatility較小(約為/3)，故較便宜，也較容易避險,例題(1997 FR

15、M Exam Q.10),Knock-out選擇權時常被用以取代一般的選擇權，因為:A.Knock-out options的波動較小B.Knock-out options的貼水較低C.Knock-out options的契約期平均較短D.Knock-out options的gamma較小,例題(2002 FRM Exam Q.19),現貨價=100，關卡還未達到，則若現貨價將上升，下列何者不會受益?A.down-and-out 買權:關卡=90,執行價格=110B.down-and-in 買權:關卡=90,執行價格=110C.up-and-in賣權:關卡=110,執行價格=100D.up-an

16、d-in買權:關卡=110,執行價格=100,選擇權之非線性風險,我們可以把選擇權的價值寫為一般函數式:衍生性金融商品定價就是尋找 f 的值，惟除非多許多簡單化的假定，否則表達不出函數形式，一般需靠數字方法模擬。選擇權定價公式中，一般簡化認定:現貨價(S)為非線性關係，其餘變數為線性關係；,風險管理必需先了解函數 f 的變動。若小幅變動，可以用 Taylor 展開式趨近:,一階偏微稱 delta；二階偏微稱 gamma。故以直線估計，為 delta估計，以二項式估計，則是 delta 加 gammaTaylor 展開式無效的原因:1.風險因子巨大變動:2.高度非線性(如選擇權接近到期日，或其

17、他新興選擇權 exotic options)3.交义偏微,例題(1999 FRM Exam Q.65),估計普通(vanilla)歐式選擇權的風險時，為什麽常以delta-gamma方式，而非用精確的方程式?A.以Taylor 展開式展開選擇權的價格函數時，delta及gamma為首兩項，其他項通常不顯著B.只有delta風險及gamma風險可以避險C.價格函數不能直接計算，delta及gamma則可D.(A)及(C)對，(B)錯,例題(1999 FRM Exam Q.88),為什麽 delta方法不適用於衡量選擇權資產組合(portfolio)的風險A.缺乏資料去計算變異數-共變異數矩陣B.

18、選擇權一般為短期的衍生性金融商品C.選擇權收益為非線性D.B-S訂價模型不適用於真實世界,例題(2001 FRM Exam Q.79),一銀行賣出100,000股証劵的買權，收入300,000，該証劵的交易價=50，執行價格=49，契約期三個月，標準差=20%，利率=5%，則該銀行應如何delta避險?(以千股為整數)A.買入65,000股B.買入100,000股C.買入21,000股D.賣出 100,000股,選擇權的希臘字母,研究風險因子變動導致選擇權價值變動多少，稱為敏感度(sensitivity)分析最重要的敏感度分析，即為價格對選擇權價值的一階偏微，稱為 delta。如買權的delt

19、a為永遠為正並小過一,賣權的delta則為負數:Gamma()為二階偏微，即價格對的一階偏微，可衡量的不穩定性。買權和賣權的gamma相同(為標準常態分配的pdf),重要概念,Call delta:at-the-money 0.5 in-the-money 1 out-of-the-money 0Put delta:at-the-money-0.5 in-the-money 1 out-of-the-money 0在一般選擇權中，愈短期at-the-money的選擇權，非線性愈明顯,選擇權中的gamma類似債券的convexity.惟固定票面利率債券的convexity恆為正，選擇權的gamm

20、a則可正可負。正的gamma及convexity都有好處:資產價值下跌時下跌較慢，上升時則上升較快,正、負 gamma:long call:0；0long put:0short call:0；0,選擇權價值因波動(volatility)的改變而變動，稱為 lambda(或稱 vega、kappa)，即選擇權價值對波動的敏感度。歐式買權和賣權相同:買(long)選擇權，lambda必為正At-the-mony 時，lambda最大剩餘的契約期愈短，Lambda愈小,選擇權價值對國內利率的敏感度，稱為rho。買權:賣權:,在固定執行價格下，利率增加導致資產有較高的成長率，使執行買權的機會增加，故增

21、加買權的價值。在利率無限大的極端情形下，N(d2)=1，買權一定會被執行，從而使買權就等於資產本身賣權的情形與上述的剛好相反,收益對選擇權價值的影响:買權:賣權:收益增加導致資產的成長率下降，不利買權的價值；賣權則剛好相反,已過的時間(passage of time)對選擇權價值的影响稱為 theta()，這亦稱為時間衰退(time decay)。與其他因素不同，選擇權剩下多少時間到期，是完全可預期的，故不算風險因子。一般而言，對購入買權及賣權的影响皆為負，即選擇權的契約時間過得愈多，選擇權愈失去價值。,買權:賣權,與Gamma()一樣，如果以絕對值衡量，短契約期 at-the-money的t

22、heta()最大，因 當at-the-money選擇權的到期日愈來愈近，選擇權的價值就喪失得愈來愈多美式選擇權的theta一定為負，因為其給予擁有者提早執行的選擇,回顧 GBM假定只有現貨價格為單一風險因子，故選擇權函數可簡化成 f(S,t)，應用隨機微積分的 Itos lemma(忘了它吧!)及Taylor展開式，可得,代入”Greeks”，得:右邊第一項為變動的趨勢，第二項為隨機因素若希望構建一個由選擇權 f 與現貨 S 組成的投資組合，而完全消除來自 dz 的隨機風險，定義此投資組合:,使用前兩條(GBM 及 df)公式,並簡化此簡式很重要，不單消去 dz 項，使投資組合對隨機風險免疫(

23、immunized)，更消去變動趨勢項，此解釋為何B-S定價方程式，沒有趨勢值,因為投資組合沒有風險，為避免套利行為，其報酬率必定為無風險利率如果資產有收益(y，如紅利、股息)，則上式調整為：,代入含有greeks 的 d公式，符消去左邊的d，得:此即 Black-Scholes的偏微分方程式(partial differential equation,PDE)，此方程式適用於任何其價值衍生自現貨價格的單一契約(期貨、選擇權、遠期契約)及投資組合。例如，此方程式的解加上適當的期初條件，可直接導出歐式買權公式,根據此PDE，我們可得出各種敏感度之間的關係。例如，考慮一由各種衍生性金融商品組成的投

24、資組合，各金融商品皆以同一資產為標的，若此投資組合已經delta避險，則此PDE中的=0，若 rf 不大，則大而正值的，必導致為負,換言之，一有delta避險的衍生性金融商品組合，正的gamma()導致其會受益於價格風險，則必定有負的theta(，時間衰退(time decay)例如買入straddle(跨坐？)，此為delta中立並有大的gamma，其會受益於現貨價格 S 的大幅波動，但其買入的選擇權的價值，很快衰退,重要概念,Delta避險的資產組合，其 gamma的正負必定與theta的正負相反,例題(2001 FRM Exam Q.123),當一 in-the-money 的選擇權接近

25、到期日時，下列“Greeks”，何者最具風險?A.Lambda(vega)B.RhoC.GammaD.Delta,例題(1998 FRM Exam Q.43),若把風險定義為潛在未預期的損失，則下列“Greeks”，何者對買入(long)賣權，構成風險:A.delta，vega，rhoB.vega，rhoC.delta，vega，gamma，rhoD.delta，vega，gamma，theta，rho,例題(1998 FRM Exam Q.44),若把風險定義為潛在未預期的損失，則下列“Greeks”，何者對賣出(short)買權，構成風險:A.delta，vega，rhoB.vega，rh

26、oC.delta，vega，gamma，rhoD.delta，vega，gamma，theta，rho,例題(1998 FRM Exam Q.45),若把風險定義為潛在未預期的損失，則下列“Greeks”，何者對買入(long)straddle(跨坐)，構成風險:A.delta，vega，rhoB.vega，rhoC.delta，vega，gamma，rhoD.delta，vega，gamma，theta，rho,例題(1999 FRM Exam Q.39),如果市場條件不變，當接近到期日時，下列何種選擇權會有加速的時間衰退(time decay)?A.in-the-moneyB.out-of

27、-the-moneyC.at-the-moneyD.以上皆非,例題(1999 FRM Exam Q.38),當距離到期日的時間相同時，下列有關選擇權的時間價值(time value)的陳述，何者為對?A.out-of-the-money較at-the-money有較高時 間價值B.in-the-money較at-the-money有較高價值C.at-the-money 比out-of-the-money和in-the-money，都較有時間價值D.at-the-money選擇權沒有時間價值,例題(1999 FRM Exam Q.56),若市場其他條件皆相同，無收益的歐式買權及賣權有相同的:(1

28、)Gamma；(2)Vega；(3)theta；(4)rhoA.只有(2)B.(1)和(2)C.全部D.(3)和(4),例題(1998 FRM Exam Q.36),一投資者在兩天前，向一衍生性金融商品經記商買入一短期at-the-money的straddle交換契約，下列何種風險因素將使該投資者產生損失?1.利率delta風險；2.gamma風險；3.vega風險；4.theta風險；5.契約對方的信用風險A.(1)和(2)B.(1)、(2)、和(3)C.(1)、(3)、(4)、和(5)D.(1)、(2)、(3)、(4)、和(5),例題(1998 FRM Exam Q.37),一投資者在兩天

29、前，向一衍生性金融商品經記商賣出一短期at-the-money的straddle交換契約，貼水先付，下列何種風險因素將使該投資者產生損失?1.利率delta風險；2.gamma風險；3.vega風險；4.theta風險；5.契約對方的信用風險A.(1)和(2)B.(1)、(2)、和(3)C.(1)、(3)、(4)、和(5)D.(1)、(2)、(3)、(4)、和(5),例題(2000 FRM Exam Q.76),投資者如何佈處一負 vega、正 gama的投資?A.買入短期選擇權；賣出長期選擇權B.買入長期選擇權；賣出短期選擇權C.買入及賣出長期選擇權D.買入及賣出短期選擇權,動態避險 Dyn

30、amic hedging,B-S 訂價模型主要貢献之一是：指出擁有買權等同於持有一部份標的資產，而此持有部份應隨時間及市場條件改變而動態調整,Delta 與 動態避險,假定選擇權的價值為現貨價格的函數選擇權的價值為非線性現貨價格增加，導致函數斜率(Delta)增加要複製一購入買權，需對標的資產有較大的部位反之，若現貨價格下降，則delta減少，所需標的資產部位較小,故動態避險的原則為：價格上升後，多持有(買)現貨資產；價格下跌後，少持有(賣)現貨資產購買賣權的動態避險原則，與買權相同Short買權及賣權的動態避險原則相同，但操作方向相反：價格上升後，賣得較多,重要含意:1.動態複製一買入選擇權

31、(不管是買權抑 或賣權)，必定虧損 後知後覺!2.若避險基本大規模利用此等自動交易 系统，則本身即會破壞市場的穩定(如 有人歸疚1987年大崩盤，是避險基本 大規模複製 long in put)3.傳统風險管理的損失限制(loss-limit)政 策，類似於選擇權的購買,前述複製策略成功與否，繫於連續GBM價格程序的假定。理論上，資產組合可以需要而不斷再平衡；惟實務上，價格常急烈上跳下跌，故無法連續平衡,選擇權收益的分配,選擇權收益是本質性的不對稱(asymmetric)，此性質與相關的風險因子無關(它們多是對稱的,symmetric)，而是選擇權本身的特性，在計算選擇權的風險時，此特性很重要

32、,Long option:long gamma long right tailShort option:short gammalong left tail,選擇權的 VaR,假定標的資產的報酬率為常態分配，則該資產的風險值 VaR:為對應的信賴水準臨介值(例如95%的信賴水準，=1.64),選擇權的線性 VaR選擇權的二項式 VaR,例題(2001 FRM Exam Q.80),下列何種投資部位，最具風險?A.負 gamma，delta 中立B.正gamma，正delta C.負 gamma，正delta D.正gamma，delta 中立,例題(1997 FRM Exam Q.28),考慮買

33、入資產名目金額一百萬的買權風險:若該標的資產的VaR=7.8%，則一短期 at-the-money選擇權的VaR大約為:A.如果考慮二階條件，少過$39,000B.如果考慮二階條件，多過$39,000C.如果考慮二階條件，少過$78,000D.如果考慮二階條件，多過$78,000,例題(1998 FRM Exam Q.27),一交易商持有原油選擇權，油價每波動一元，則 delta及gamma分別為 100,000及-50,000桶原油，假定原油價格每桶最多波動$2，請用delta-gamma方法，計算其 VaR:A.$100,000B.$200,000C.$300,000D.$400,000,