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1、,第一章,二、收敛数列的性质,三、极限存在准则,一、数列极限的定义,第二节,数列的极限,数学语言描述:,一、数列极限的定义,引例.,设有半径为 r 的圆,逼近圆面积 S.,如图所示,可知,当 n 无限增大时,无限逼近 S.,当 n N 时,用其内接正 n 边形的面积,总有,刘徽,(刘徽割圆术),定义:,自变量取正整数的函数称为数列,记作,或,称为通项(一般项).,若数列,及常数 a 有下列关系:,当 n N 时,总有,记作,此时也称数列收敛,否则称数列发散.,几何解释:,即,或,则称该数列,的极限为 a,例如,趋势不定,收 敛,发 散,例1.已知,证明数列,的极限为1.,证:,欲使,即,只要,
2、因此,取,则当,时,就有,故,例2.已知,证明,证:,欲使,只要,即,取,则当,时,就有,故,故也可取,也可由,N 与 有关,但不唯一.,不一定取最小的 N.,说明:,取,例3.设,证明等比数列,证:,欲使,只要,即,亦即,因此,取,则当 n N 时,就有,故,的极限为0.,二、收敛数列的性质,证:用反证法.,及,且,取,因,故存在 N1,从而,同理,因,故存在 N2,使当 n N2 时,有,1.收敛数列的极限唯一.,使当 n N1 时,假设,从而,矛盾,因此收敛数列的极限必唯一.,则当 n N 时,故假设不真!,满足的不等式,例4.证明数列,是发散的.,证:用反证法.,假设数列,收敛,则有唯
3、一极限 a 存在.,取,则存在 N,但因,交替取值 1 与1,内,而此二数不可能同时落在,长度为 1 的开区间,使当 n N 时,有,因此该数列发散.,2.收敛数列一定有界.,证:设,取,则,当,时,从而有,取,则有,由此证明收敛数列必有界.,说明:此性质反过来不一定成立.,例如,虽有界但不收敛.,有,数列,3.收敛数列具有保号性.,若,且,有,证:,对 a 0,取,推论:,若数列从某项起,(用反证法证明),则,则,*,4.收敛数列的任一子数列收敛于同一极限.,证:设数列,是数列,的任一子数列.,若,则,当,时,有,现取正整数 K,使,于是当,时,有,从而有,由此证明,*,三、极限存在准则,由
4、此性质可知,若数列有两个子数列收敛于不同的极,限,例如，,发散!,夹逼准则;单调有界准则;*柯西审敛准则.,则原数列一定发散.,说明:,1.夹逼准则(准则1)(P50),证:,由条件(2),当,时,当,时,令,则当,时,有,由条件(1),即,故,例5.证明,证:利用夹逼准则.,且,由,2.单调有界数列必有极限(准则2)(P52),(证明略),例6.设,证明数列,极限存在.(P53P54),证:利用二项式公式,有,大,大,正,又,比较可知,根据准则 2 可知数列,记此极限为 e,e 为无理数,其值为,即,有极限.,又,内容小结,*3.柯西极限存在准则(柯西审敛原理)(P55),数列,极限存在的充
5、要条件是:,存在正整数 N,使当,时,证:“必要性”.,设,则,时,有,使当,因此,“充分性”证明从略.,有,柯西,内容小结,1.数列极限的“N”定义及应用,2.收敛数列的性质:,唯一性;有界性;保号性;,任一子数列收敛于同一极限,3.极限存在准则:,夹逼准则;单调有界准则;*柯西准则,思考与练习,1.如何判断极限不存在?,方法1.找一个趋于的子数列;,方法2.找两个收敛于不同极限的子数列.,2.已知,求,时,下述作法是否正确?说明理由.,设,由递推式两边取极限得,不对!,此处,作业,P30 1,*3(2),*4 P56 4(1),(3),4(3)提示:,可用数学归纳法证,第三节,故极限存在，
6、,备用题,1.设,且,求,解：,设,则由递推公式有,数列单调递减有下界，,故,利用极限存在准则,2.设,证:,显然,证明下述数列有极限.,即,单调增,又,存在,“拆项相消”法,刘徽(约225 295年),我国古代魏末晋初的杰出数学家.,他撰写的重,差对九章算术中的方法和公式作了全面的评,注,指出并纠正了其中的错误,在数学方法和数学,理论上作出了杰出的贡献.,他的“割圆术”求圆周率,“割之弥细,所失弥小,割之又割,以至于不可割,则与圆合体而无所失矣”,它包含了“用已知逼近未知,用近似逼近精确”的重要,极限思想.,的方法:,柯西(1789 1857),法国数学家,他对数学的贡献主要集中,在微积分学,柯,西全集共有 27 卷.,其中最重要的的是为巴黎综合学,校编写的分析教程,无穷小分析概论,微积,分在几何上的应用 等,有思想有创建,响广泛而深远.,对数学的影,他是经典分析的奠基人之一,他为微积,分所奠定的基础推动了分析的发展.,复变函数和微分方程方面.,一生发表论文800余篇,著书 7 本,
