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1、主讲教师:冉扬强,工程数学复变函数,辅导课程十三,第四章 级数3 泰勒级数4 洛朗级数,第二篇 复变函数,第四章 级 数3 泰 勒 级 数 解析函数的幂级数表示泰勒定理：设 在区域D内解析，只要圆 含于D内，则 在K内 能展成幂级数 其中系数 并且展式是唯一的。,讨论：(1)泰勒展式是唯一的，因此可用任何方法来求一个解析函数的泰勒展式，不一定要用系数公式来求系数，即可用间接法展开。(2)由于幂函数的和是解析函数，而解析函数又可以展为唯一的泰勒级数，所以解析函数与幂级数有着不可分割的联系。这样，解析函数的充分必要条件可表为：在D内解析 在D内任一点 的某邻域内可展成幂级数(泰勒级数)。（3）几个
2、初等函数的泰勒级数,4 洛 朗 级 数一、双边幂级数的收敛圆环 对于第一个级数，它是幂级数，故它在收敛圆()内表示一个解析函数，,对第二个级数，作代换 得 设它的收敛区域为()，则上级数在 内表示一个解析函数。即：这样:故知级数(2)在()内,表示一个解析函数.这样级数(1),(2)有公共的 收敛区域：圆环 这时，我们称级数(1)与级数(2)之和为一双边幂级数.表示为：其收敛区域为圆环：定理：双边幂级数 在收敛圆环 上绝对收敛并且内闭一致收敛，它的和函数在其上是解析函数.,二、解析函数的洛朗展式 定理(洛朗定理)：在圆环H:内的解析函数 必可展成级数:系数 称为洛朗系数，展式称为洛朗级数.为圆
3、周，并且展式是唯一的.,讨论：1)由于在圆所围区域可能有奇点，因此，不能用柯西公式把系数记为：2)由于展式的唯一性，可用任何方法来求一个在圆环内解析的函数的洛朗展式，而不一定用系数公式来求.3)如 在D 上有奇点，可作一个圆包 围所有的奇点，那么在该圆的外部区域，为解折函数，可展为洛朗级数.4)同一函数在不同的圆环内，其洛朗展式也不同.,三、洛朗展式举例 1、孤立奇点：若函数 在 不解析(不解析包括不可微或无定义)，而在 的某无心邻域(即除去圆心的某个圆)内解析，则称 是 的一个(单值性)孤立奇点。如果在 的无论多么小的邻域内，总有除以 外的奇点，则 是 的 非孤立奇点。例如：函数 它有孤立奇
4、点 又如，函数，z=0是它的,非孤立奇点.因为 的奇点是，即：,显然可以任意 接近 z=0点.这就是说在 z=0 的无论多么小的邻域内，函数总有异于z=0 的奇点.如果 a 为 的单值性孤立奇点，则必存在R，使 在 内可展成洛朗级数.例1：函数 有孤立奇点 在 内有：,在 内,例2：有孤立奇点 z=0，并且在 内有洛朗展式.例3、将 在 及，内分别展开成洛朗数.,解：(i).(ii).,(iii).,第五章 留 数,主要内容(1)、单值函数的孤立奇点(2)、留数的概念及留数定理(3)、求留数的方法(4)、利用留数定理求复变积分(5)、利用留数定理求某些实变积分,重点和难点 重点:单值函数的孤立
5、奇点的分类及特点；留数定理及留数的求法；利用留数定理计算复变函数积分和实变函数积分 难点:留数的求法；留数定理计算实变积分的方法；单值函数的孤立奇点,1 孤立奇点 一、孤立奇点的三种类型 如果 a 为 的孤立奇点，则在 a 的某无心邻域内 可以展成洛朗级数 称 为 在a点的正则部分,而称 为 在a点的主要部分.孤立奇点分为三种：,(i).可去奇点：如果 在a点没有主要部分，则称 a 为 的可去奇点.(ii).m阶极点：如果 在 a 点的主要部分有有限多项，设为:则称 a 为 的m阶级点.(iii).本性奇点：如果 在a点的主要部分有无限多项，则称a为 的本性奇点.二、可去奇点 是 可去奇点的充
6、要条件为下列条件之一：,(i).在a 点没有主要部分(ii).存在并且有限(iii).在a的充分小邻域内有界 例如三、极点 为 的m 阶极点的充要条件是下列条件之一：(i).在a点的主要部分为,(ii).在a 的某无心邻域内能表示成 其中 在a的邻域内解析，且.(iii).若a为 的m阶零点，则a为 的m阶极点.所谓a为 的m阶零点，是指，但 显然，不恒等于零的解析函数 如果能表示成,为,其中 在a的邻域内解析，且，m为正整数，则a为 的m阶零点 推论：的孤立奇点a为极点的充分必要条 件是 例如,四、本性奇点 充要条件：不存在 a为 的本性奇点。不存在的意思是：当 时，既不趋于，也不趋于一定的值.例如:,
