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1、第十章 协方差分析,生物统计附试验设计,第十章 协方差分析,教学要求：,2、掌握单因子协方差分析的基本步骤。,1、了解协方差分析的意义。,第十章 协方差分析,第一节 协方差分析的意义,为了提高试验的精确性和准确性，对处理以外的一切条件都需要采取有效措施，使它们在各处理间尽量一致，这叫试验控制。,一、试验控制,第十章 协方差分析,例如：研究几种饲料对猪的增重效果，要求供试仔猪的初始重相同，因为仔猪的初始重不同，会影响猪的增重效果。,例如：为了比较三种不同配合饲料的饲养效果，有人将24头猪随机分成三个组，进行饲养试验，测定结果见下表：,三种饲料喂猪试验的始重与增重资料（单位：kg）,第一节 协方差
2、分析的意义,如果仔猪的初始重(x)与增重(记为y)存在回归关系，则可以应用统计学方法将仔猪增重矫正为初始重相同时的增重，在消除初始重不同对仔猪增重的影响后，再进行方差分析，这叫试验控制。,二、统计控制,第一节 协方差分析的意义,通过矫正，试验误差将减少，对试验处理的效应估计将更为准确。,在实际试验中，很难满足供试仔猪初始体重完全相同的条件。,将回归分析与方差分析结合起来的统计方法，叫作协方差分析（analysis of covariance）,三、协方差分析定义,四、适用范围,协方差分析适用于：两变数间存在显著的回归关系而初值不一致的资料。,第一节 协方差分析的意义,五、协方差组分的估计,第一
3、节 协方差分析的意义,分子、分母同时除以自由度（n-1），得,第一节 协方差分析的意义,其中，,是x的均方MSx，是x的总体方差 的无偏估计量。,是y的均方MSy，是y的总体方差 的无偏估计量。,是x与y的离均差的乘积和，简称均积，记为,与均积相对应的总体参数叫协方差，记为,均积是协方差的无偏估计量，即,第一节 协方差分析的意义,于是，相关系数可以表示为：,相应的总体相关系数可以表示为：,第一节 协方差分析的意义,均积与均方具有相似的形式，也有相似的性质。,方差分析时，一个变量的总平方和与自由度可按变 异来源进行剖分，进而求得相应的均方。,同样，两个变量的总乘积和自由度也可按变异来源 进行剖分
4、，从而获得相应的均积。,把两个变量的总乘积和与自由度按变异来源进行剖分，并获得相应的均积的方法，也称为协方差分析。,第二节 单因素试验资料的协方差分析,第十章 协方差分析,设有k个处理、n次重复的双变量试验资料，每处理组内有 n 对观察值 x、y，则该资料为具 kn 对 x、y 观测值的单向分组资料，其数据的一般模式如下表。,第二节 单因素试验资料的协方差分析,总变异的乘积和,其中：,第二节 单因素试验资料的协方差分析,处理间的乘积和,第二节 单因素试验资料的协方差分析,处理内的乘积和,第二节 单因素试验资料的协方差分析,若个处理的重复数n不相等,第二节 单因素试验资料的协方差分析,【例10.
5、1】为了寻找哺乳仔猪食欲增进剂，以增进食欲，提高断奶重，对哺乳仔猪做了以下试验：试验设对照、配方1、配方2、配方3共4个处理，重复12次，选择初始 条件尽量相近的长白种母猪的哺乳仔猪48头，完全随机 分为4组进行试验，结果见下表，试作分析：,第二节 单因素试验资料的协方差分析,处理数k=4,重复数n=12,kn=412=48,第二节 单因素试验资料的协方差分析,第二节 单因素试验资料的协方差分析,（一）求 x 变量的平方和与自由度,1.总平方和与自由度,第二节 单因素试验资料的协方差分析,2.处理间平方和与自由度,第二节 单因素试验资料的协方差分析,3.处理内平方和与自由度,第二节 单因素试验
6、资料的协方差分析,（二）求 y 变量的平方和与自由度,1.总平方和与自由度,第二节 单因素试验资料的协方差分析,2.处理间平方和与自由度,第二节 单因素试验资料的协方差分析,3.处理内平方和与自由度,第二节 单因素试验资料的协方差分析,（三）求 x 和 y 两变量的离均差乘积和与自由度,1.总乘积和与自由度,第二节 单因素试验资料的协方差分析,2.处理间乘积和与自由度,第二节 单因素试验资料的协方差分析,3.处理内乘积和与自由度,第二节 单因素试验资料的协方差分析,（四）对 x 和 y 作方差分析,表10-4 初生重与50日龄重的方差分析表,结果表明：4种处理的供试仔猪平均初生重间存在着极显著
7、的差异，其50日龄平均重差异不显著。须进行协方差分析，以消除初生重不同对试验结果的影响，减小试验误差，揭示出可能被掩盖的处理间差异的显著性。,第二节 单因素试验资料的协方差分析,（五）协方差分析,1.误差项回归关系的分析,分析的意义：要从剔除处理间差异的影响的误差变异中找出50日龄重（y）与初生重（x）之间是否存在线性回归关系。,如果回归关系显著，则说明两者间存在回归关系。这时就可应用线性回归关系来校正y值（50日龄重）以消除仔猪初生重（x）不同对它的影响。然后根据校正后的y值（校正50日龄重）来进行方差分析。,如果线性回归关系不显著，则无需继续进行分析。,第二节 单因素试验资料的协方差分析,
8、回归分析的步骤：,（1）计算误差项回归系数、回归平方和、离回归平方和 与相应的自由度,误差项回归系数：,误差项回归平方和与自由度,误差项离回归平方和与自由度,第二节 单因素试验资料的协方差分析,（2）检验回归关系的显著性,F检验表明，误差项回归关系极显著，表明哺乳仔猪50日龄 重与初生重间存在极显著的线性回归关系。因此，可以利 用线性回归关系来校正 y，并对校正后的 y 进行方差分析。,第二节 单因素试验资料的协方差分析,2.对校正后的50日龄重作方差分析,（1）求校正后的50日龄重的平方和与自由度,统计学已证明：校正后的总平方和、误差平方和及自由度等于其相应变 异项的离回归平方和及自由度。,
9、校正后50日龄重的总平方和与自由度,第二节 单因素试验资料的协方差分析,校正后50日龄重的误差项平方和与自由度,第二节 单因素试验资料的协方差分析,校正后50日龄重的处理间平方和与自由度,第二节 单因素试验资料的协方差分析,（2）列出方差分析表，对校正后的50日龄重进行方差分析,查F表：F0.05(3，43)=4.275，由于F F0.05(3，43)，表明校正后 的50日龄重（不同食欲增进剂配方）间存在极显著的差异。因此须进行多重比较，进一步检验不同处理间的差异显著 性。,第二节 单因素试验资料的协方差分析,3.根据线性回归关系计算各处理的矫正50日龄平均重,第二节 单因素试验资料的协方差分析,将所需要的数值代入公式，即可计算出各处理的校正 50日龄平均重（见下表）。,
