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1、公式 称为 的 n 阶泰勒公式.,公式 称为n 阶泰勒公式的拉格朗日余项.,泰勒中值定理:,阶的导数,时,有,其中,则当,3.3内容回顾,公式 称为n 阶泰勒公式的佩亚诺(Peano)余项.,称为麦克劳林（Maclaurin）公式.,则有,在泰勒公式中若取,此时条件可降低为,(或),证明:当,仅证明:,(n-1次洛必达法则),=0,(5),(4),(3),(2),(1),注:,几个初等函数的麦克劳林公式,泰勒公式的应用,1 在近似计算中的应用,误差,M 为,在包含 0,x 的某区间上的上界.,2利用泰勒公式求极限,3.利用泰勒公式证明不等式,解:,已知,求,另解：原式,所以,解:,设f(x)在
2、x=0的附近二阶可导且,求,及极限,所以,或,两边同乘 n!,=整数+,假设 e 为有理数,(p,q 为正整数),则当 时,等式左边为整数;,矛盾!,证明 e 为无理数.,证:,故 e 为无理数.,等式右边不可能为整数.,一、函数单调性的判定法,二、曲线的凹凸性与拐点,3.4 函数的单调性与,曲线的凹凸性,第三章,一、函数单调性的判定法,定理 1.设函数,则 在 I 上严格单调递增,(递减),证:不妨设,任取,由拉格朗日中值定理得,故,这说明 在 I 内严格单调递增.,在区间 I 上连续在区间 I 内可导,若,1.定义(略P12),2.判定定理,定理 1.设函数,则 在 I 上严格单调递增,(
3、递减),在区间 I 上连续在区间 I内可导,若,2.判定定理,注:1,是函数在区间上单调的充分条件,并非必要函数单调增(减)可能在个别点的导数为零，如,在(-,+)上递增但,甚至不可导，如,在(-,+)上递增但,不存在.,注:2,函数单增与单减的分界点只能是导数为零的点或,导数不存在的点.,它们将函数的定义域分成若干个单调,区间.,(请阅读P147例3后的一段话),例1.确定函数,的单调区间.,解:,令,得,故,的单调增区间为,的单调减区间为,或,或,例2.确定函数,的单调区间.,解:,令,得,故,的单调增区间为:,的单调减区间为:,在x=2处不可导.,例3.证明：,时,证:令,另证:,总之x
4、0时,时,时,即,1定义.设函数,在区间 I 上连续,(1)若恒有,则称,图形是凹的;,(2)若恒有,则称,连续曲线yf(x)上的凹凸分界点称为拐点.,图形是凸的.,二、曲线的凹凸与拐点,2.凹凸判定法:,(1)在 I 内,则 在 I 上图形是凹的;,(2)在 I 内,则 在 I 上图形是凸的.,证:,利用一阶泰勒公式可得,两式相加,说明(1)成立;,(2),在区间I 上连续,在I内二阶可导,证毕,例4.判断曲线,的凹凸性.,解:,故曲线,在,上是向上凹的.,说明:,1)若在某点二阶导数为 0,2)根据拐点的定义及上述定理,可得拐点的判别法如下:,若曲线,或不存在,则点,是曲线,的一个拐点.,
5、则曲线的凹凸性不变.,在其两侧二阶导数不变号,例5.求曲线,凹凸区间与拐点.,解:,0,因此曲线,凹区间为:,凸,凹,凹,拐点,凸区间为:,拐点为:,内容小结,1.可导函数单调性判别:,2.曲线凹凸与拐点的判别,拐点,连续曲线yf(x)上的凹凸分界点,思考与练习,上,则,或,的大小顺序是(),提示:利用,单调增加,及,B,设在,作业P152 3(2),(7);5,(4);9(3),(6);10(3);13;14;15,证明:,当,时，,有,证明:,令,即,在,上是凸的,证明:,在a,b上连续,在(a,b)内二阶可导且,证:,当x(a,b)时,则,(反证设),使得,+,0,+,0,0,矛盾.,所以,不妨设,+,例12已知,解,可导,设,则F(x)在x=0处可导,例13,具有一阶连续导数,且,当,求:a、b,解：,(),()式两边取极限得，,(),有（）两边除以h并取极限得,0=,(3),联立(2)(3)式得,所以充要条件为：,所以,是g(x)不可导的必要条件,极限存在的充要条件是,此极限不存在的充要条件是,例14,所以充要条件为：,可导的充要条件是(),例15,
