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1、变 化 率 问 题与导数的概念,问题1.气球平均膨胀率.,吹气球时,会发现:随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加得越来越慢,能从数学的角度解释这一现象吗?,解:可知:V(r)=r3,即：r(V)=,当空气容量从增加时，半径增加了,r(1)r(0)=0.62,气球平均膨胀率：,问题1.气球平均膨胀率.,当空气容量从加时，半径增加了,r()r()=0.,气球平均膨胀率：,可以看出，随着气球体积变大，它的平均膨胀率变小,思考：当空气容量从V1增加到V2 时,气球的平均膨胀率是多少呢?,问题2.平均速度.,求s到s时的平均速度,解：S2S1=14.7,t2t1=1,问题2.平均速度.,思考：求t1
2、s到t2s时的平均速度,平均变化率,如果上述的两个函数关系用f(x)表示,那么当自变量x从x1变化到x2时，,函数值就从y1变化到y2,则函数f(x)从x1到x2的,平均变化率：,它的几何意义是什么呢？,问题：瞬时速度,如何求t=3这时刻的瞬时速度呢？,能否用求平均速度的方法求某一时刻的瞬时速度？,（我们可以取t=3临近时间间隔内的平均速度当作t=3时刻的平均速度，不过时间隔要很小很小）,问题：瞬时速度,如何求t=3这时刻的瞬时速度呢？,解：取一小段时间：3,3+t,问题：瞬时速度,解：取一小段时间：3,3+t,（平均速度的极限为瞬时速度）,瞬时速度：,（平均速度的极限为瞬时速度）,思考：在t0时刻的瞬时速度呢？,瞬时变化率：,思考：我们利用平均速度的极限求得瞬时速度，那么如何求函数f(x)在x=x0点的瞬时变化率呢？,可知:函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率为：,导数,我们称它为函数f(x)在x=x0处的导数,小结：由定义知，求f(x)在x0处的导数步骤为：,例1.求y=x2在点x=1处的导数,解：,小结：,
