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1、2.6 转子系统临界转速的概念,图2.6-1 单盘转子示意图,图2.6-2 圆盘的瞬时位置及力,设有一转子如图2.6-1所示，其中Oxyz是固定坐标系，无质量的弹性轴的弯曲刚度为EJ，在跨中安装有质量为m的刚性薄盘。,由于材料、工艺等因素使圆盘的质心偏离轴线，偏心距为e。当转子以等角速度自转时，偏心引起的离心惯性力将使轴弯曲，产生动挠度，并随之带动圆盘公转。,由材料力学可知，对于图2.6-3所示的模型,图2.6-3,2.6 转子系统临界转速的概念,（2-1）,（2-2）,设圆盘在瞬时t 的状态如图2.6-2所示，这时弹性轴因有动挠度 而对圆盘的作用力为，它在坐标轴上的投影分别为,根据质心运动定
2、理，可得,由图2.6-4的几何关系知,对上式求两次导数，可得,设圆盘在运动中受到粘性阻尼力的作用，它的两个分量为,图2.6-4,2.6 转子系统临界转速的概念,（2-3）,（2-4）,（2-5）,（2-6）,把（2-6）代入（2-4），得到转子模型的运动微分方程,可改写为,式中,（2-8）,把（2-8）式与有阻尼单自由度系统的受迫振动运动方程作一比较，显然两者在数学形式上是完全相同的。,2.6 转子系统临界转速的概念,（2-7）,把（2-9）代入（2-8）中，得到,由此可见，O点绕固定坐标系的Oz 轴在作圆周运动。,因此引用其求稳态解的方法，设,2.6 转子系统临界转速的概念,（2-9）,（2
3、-10）,可见圆周运动的半径就是轴的动挠度r，角速度等于轴的自转角速度，因为有阻尼，动挠度与偏心之间存在相位差。即有,（2-12）,对照几何关系,2.6 转子系统临界转速的概念,（2-11）,根据（2-10）式可绘出在不同 值时，r和 随值变化的曲线，分别如图2.6-5与图2.6-6所示。,图2.6-5 转子动挠度的幅值-转速曲线(左),图2.6-6 转子动挠度的相位-转速曲线(右),2.6 转子系统临界转速的概念,由于的存在，在一般情况下，O、O和 C三点并不在一条直线上，而总是成一个三角形 OOC，而且OOC 的形状在转子以等角速度 旋转过程中保持不变。,当n时，这三点又近似在一直线上，但
4、点C 位于 O和 O之间，即所谓圆盘的轻边飞出，这种现象称为自动定心，也叫偏心转向。,只有当 n时，0，这三点才近似在一直线上，O 点位于 O和 C之间，即所谓圆盘的重边飞出。,2.6 转子系统临界转速的概念,根据国际标准，临界转速定义为：系统共振时发生主响应的特征转速，在这里就是使动挠度 取得极值的转速，r于是可利用条件,（2-13）,来确定临界转速，并以Cr 表示。由（2-13）式得,由此解得,（2-14）,2.6 转子系统临界转速的概念,可见外阻尼总使得转子的临界转速稍大于其横向自然频率，这在图2.6-7中也可以看出，各曲线的峰值都偏在=n 线的右边，这一点应特别注意。,图2.6-7 转
5、子动挠度的幅值-转速曲线,2.6 转子系统临界转速的概念,实际转子系统总存在一定阻尼，动挠度不会无限大，但比一般转速下的动挠度大得多，足以造成转子破坏，因此，工程上要严格避免转子在临界转速附近工作。可见，正确的临界转速分析计算，在转子设计和处理实际问题中都很重要。,对于小阻尼情况:,（2-15）,对于无阻尼的理想情况，即=0，在临界转速时，动挠度r 将达到无限大。而相位角在临界转速之前为零，之后为，即在临界转速前后有相位突变，O、O和 C三点始终在一条直线上。,2.6 转子系统临界转速的概念,为了形象地表示自动定心（偏心转向）及在临界转速时的相位差，把 O、O及 C三点在不同转速时的相对位置表
6、示在图2.6-8上。,图2.6-8 在不同转速时的偏心位置,2.6 转子系统临界转速的概念,2.7单位脉冲激励和单位阶跃激励,建模,2.单位脉冲函数 脉冲,定义：,性质：,单位脉冲响应函数,f,t,0,t1,2.7 单位脉冲激励和单位阶跃激励,脉冲作用期间,脉冲作用结束,脉冲作用以后damped free vibration,由初始条件可求得：,将上式两边在区间 对时间积分，即,由动量定理有：,得到：,于是：,可见在单位脉冲力的作用下。系统的速度发生了突变，但在这一瞬间位移则来不及有改变。所以 时，有,脉冲作用以后damped free vibration,由初始条件可求得：,2.7 单位脉冲
7、激励和单位阶跃激励,脉冲响应函数：,2.7 单位脉冲激励和单位阶跃激励,阶跃激励(单位脉冲响应函数延拓）1.建模,2.单位阶跃函数 定义：,3.单位阶跃响应函数,时,无阻尼,U,t,0,1,将激励看成是连续作用的一系列冲量，求出每个冲量引起的位移后将这些位移相加即为动荷载引起的位移。,2.8 任意激励下的响应,一.瞬时冲量的反应,1.t=0 时作用瞬时冲量,2.时刻作用瞬时冲量,2.8 任意激励下的响应,二、无阻尼的位移响应,-杜哈美积分,三、有阻尼情况,若t=0 时体系有初位移、初速度,例.求突加荷载作用下的位移，开始时静止，不计阻尼。,解：,动力放大系数为 2,2.9 响应普,系统响应,响
8、应普：表示某一响应量与激励函数的某一常数之间关系的曲线，称为响应普。,1）,，得,峰值时间,峰值,2）,，得,2.9 响应普,最大响应值与脉冲宽度之间的关系-无量纲化变成动力放大系数与无量纲时间的关系,它表示特定周期的结构对不同持续时间的矩形脉冲的最大响应。,作业,2-49 2-60,2.10 频域分析法,1.复矢量表示简谐振动,设正弦激振力：其稳态响应：,写成复数 和 的虚部,写成指数形式,其中,2.频响函数 有阻尼弹簧质量系统受简谐激励写成：,设系统的稳态响应为 代入,设频响函数：,频响函数的物理意义：它表示单位正弦力引起的复响应，因此输入为力、输出为位移时的频响函数 又称为动柔度，也称为
9、机械导纳.,为机械阻抗，也称之为刚度。,整理,频响函数的模,为动力放大系数 为频率比,简谐振动的复指数描述,有阻尼系统的简谐激振力和在激振力作用下的响应的复指数描述，可以通过在复平面上的几何图形来说明，将式两边对求导得,所以振动速度超前位移/2相角，加速度超前位移相角，并且分别放大和2的因子。,我们知道,周期激励Fourier展开式写成复指数形式：,整理得：,代入,非周期振动与Fourier积分,非周期振动,用Fourier积分作谐波分析,先在区间（-T/2,T/2）上截出一段非周期振动，即令,非周期振动可以看成,时 的极限,即,将 按周期性要求开拓到区间，,其中，而,设,其中,当 时，为连续
10、变量比，为,式,的物理意义：,每单位带宽（以赫兹计）长度上的频谱密度，其简称为 的频谱。,称为Fourier变换.,2.10 阻尼与幅频曲线之间的关系,在共振区附近，阻尼对振幅影响大，阻尼越小，振幅越大，曲线的峰形越尖锐，反之阻尼越大，振幅越小，曲线峰形越平衡。,当共振时，,可得到,在小阻尼的情况下，忽略高次项有：,联立方程：,，为半功率点，,为半功率点的带宽。,几点结论与讨论,单自由度的固有频率平方等于k/m。阻尼比可由试验测得，一般结构阻尼比小于0.05。由于阻尼的存在，自由振动若干周后将恢复静平衡状态，受迫振动将从瞬态转为稳态。对受迫振动，在共振区内阻尼影响显著，在非共振区可忽略阻尼影响
11、。不管什麽结构如果经合理抽象化为单自由度体系，且具有相同的动力特征（m、k、），在相同初始条件和荷载下，结构具有相同的动力反应。动力系数取决于、频率比，当荷载作用在质量上时，位移和内力的动力系数相同。否则，两者不同。,对于线性体系，利用叠加原理可用Duhamel积分来求任意荷载下的反应，这种基于脉冲响应函数的分析方法称为时域分析法。突加荷载的最大位移反应接近或等于2倍静位移。周期荷载的反应可由一系列简谐反应和静力反应叠加得到。非线性问题叠加原理不适用，Duhamel积分不能用，要进行时程分析来求数值解。利用三角函数和指数函数的关系，将荷载Fourier级数化为指数形式（复数形式），设解答也是指数形式，则运动方程的解答和时域分析法相对应，可由频率响应函数叠加得到。这种方法称频域法。,几点结论与讨论,作业,
