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1、补充例题 03 试做出简单立方晶格、面心立方晶格和体心立方晶格的维格纳 塞茨原胞(Wingner-Seitz),WS原胞,由某一个格点为中心 做出最近各点和次近 各点连线的中垂面,这些包围的空间为 维格纳塞茨原胞,补充例题 01 做出石墨烯Graphene 的原胞,Graphene(石墨烯)的两种原胞取法，每个原胞有2个碳原子,Graphene,补充例题 02 做出石墨 Graphite的原胞,石墨原胞取法，每层2个原子，取两层原胞有4个碳原子,Graphite,A层,B层,简单立方的WS原胞,原点和6个近邻格点连线的垂直平分面围成的立方体,面心立方晶格的WS原胞,为原点和12个近邻格点连线的
2、垂直平分面围成的正十二面体,体心立方的WS原胞,为原点和8个近邻格点连线的垂直平分面围成的正八面体，和沿立方轴的6个次近邻格点连线的垂直平分面割去八面体的六个角，形成的14面体（截角八面体）,其中八个面是正六边形，六个面是正四边形,习题1.2,习题1.1,习题1.3,晶格常数为 a 的简立方晶格，与正格矢 R 正交的晶面族指数是什么？晶面间距d是？,习题1.4 绘画石墨烯的普通原胞 和WS原胞,四指数晶向指数，取与坐标轴的垂直截距，而非平行四边形截距。,1,0,-1,0,a1,a2,-a2,-a1,1,1/2,0 2,1,0,三指数晶向指数取与坐标轴的平行四边形截距(坐标)。,（为取指数方便，
3、例子中红色的晶向的表示矢量可以任意伸缩）,六角晶格特殊的晶面指数表示,习题1.7 证明：体心立方晶格的倒格子是面心立方；面心立方晶格的倒格子是体心立方。,习题1.8 证明：倒格子矢量 垂直于密勒指数为(h1 h2 h3)的晶面系。,习题1.6,(试用倒格矢关系证明),习题1.5,计算二维六角的倒格子基矢，画出其1BZ,习题二,提示1)：,提示2)：,双原子链：,M=m:,得到等质量一维双原子链：,等质量一维双原子链：,一维单原子链：,等价性？,等质量一维双原子链相当于取单原子链原胞两倍为晶胞，对应1BZ大小减半，单原子链超出部分的色散曲线折叠入1BZ成为光学支，保持1BZ总格波模式为“N=原子
4、数”-这也是为什么使用原胞概念.,练习 3.1,解释概念格波色散关系声子,几种简单情况下振动模式密度的表示,例1：计算一维单原子链的振动模式密度。,最大频率,振动模式密度定义：,一维情况下,每个波矢占据宽度,单位长度里的波矢密度：,dq长度里的波矢数：,考虑到一个频率可以有 两个值,振动模式密度,一维单原子链的振动模式密度,类似的，一维双原子链的振动模式密度,几种简单情况下振动模式密度的表示,例2：计算三维长声学波在弹性波近似下的振动模式密度。,其中弹性波色散关系，,由于波速(色散关系)与传播方向q无关，故在q空间等频面为球面，球壳体积：,弹性波态密度呈现抛物线形。,10/36,直接由态密度定
5、义，dn=密度*体积,1.,由于波速(色散关系)与传播方向q无关，故在q空间等频面为球面，ds 积分即该球面面积：,于是：,方法2.,直接利用公式：,固体物理教程-王矜奉 习题 3.10,习题3.1,色散关系没有方向性(qx,qy 无区分),等频率面在二维情况下为圆环，圆环周长为：,例3：N个相同原子组成二维简单晶格，面积为S，用徳拜模型计算比热,证明其低温下与 T2 正比。,证：徳拜模型使用弹性波近似，色散关系为 w=vq。,二维晶格有两支格波，一支横波、一支纵波，速度分别为vL,vT。,令,先确定德拜频率 wD：,热容表示为，,二维格波总模式数 2N,把态密度和德拜频率 wD带入热容公式：
6、,做变量代换,热容表示为，,高温时，,对积分内只保留x的一阶小量,与经典热容理论一致.,低温时，,热容与温度平方成正比.,固体物理教程-王矜奉 习题 3.10,习题3.2,其中ds为该支格波的等频面，由于题中色散关系没有方向性，故为球面：,推广可以证明：如果色散关系,提示：,二维,三维,一维,习题3.3,对一维简单晶格(一维单原子链)，按照徳拜模型，求晶格热容；并证明高温热容为常数 NkB,低温热容正比于 T。,固体物理教程-王矜奉 习题 3.13,注：徳拜模型即使用弹性波近似，色散关系为 w=vq。,色散关系没有方向性(qx,qy 无区分),等频率面在二维情况下为圆环，圆环周长为：,例3：N
7、个相同原子组成二维简单晶格，面积为S，用徳拜模型计算比热,证明其低温下与 T2 正比。,证2：徳拜模型使用弹性波近似，色散关系为 w=vq。,二维简单晶格共有2支格波：,例1：分别以定义和态密度计算自由电子的0K费米能。,方法1,电子浓度,方法2 E 到 E+dE 间电子数,总电子数,习题：证明二维自由电子的态密度(除以单位面积)为常数;一维自由电子的态密度(除以单位长度)E-1/2；（并求出各自费米面处态密度）,自由电子模型，温度 T 下电子满足:,TESTtest,例1：分别以定义和态密度计算自由电子的0K费米能。,TEST,例题1 计算一维单原子链的紧束缚能带(L=na),对于中心原子，只考虑左右近邻，Rs=a,利用,具有相同的值,k=0,例题2 计算简单立方晶格中由原子 s 态形成的能带,s 态的波函数是球对称的，在各个方向重叠积分相同,对于不同方向的近邻，有相同的值,具有相同的值,s 态波函数为偶宇称,能量本征值,
