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1、第一章 复数与复变函数,第二讲 复变函数的极限与连续性,学习要点,掌握复变函数的概念,掌握复变函数的极限与连续性,一、复平面上的点集与区域,内点:对任意z0属于点集E，若存在(z0,)，使该邻域内的所有点都属于E，则称z0 是点集E的内点。,开集:若E内的所有点都是 它的内点，则称E是 开集。,边界与边界点:设有点P，若点P的任何邻域 中既有属于都包含E中的点又有不属于 E的点，则称P是E的边界点；点集E的 所有边界点的集合称为E的边界,点集 E 的聚点 P 可能属于E 也可能不属于E,区域 设 D是一个开集，且D连通，即D中任 任意两点均可用完全属于D的连线连起 来，称 D是一个区域。,有界
2、区域与无界区域,区域的例子:,二、简单曲线（或Jardan曲线),简单闭曲线,不是简单闭曲线,约当定理（简单闭曲线的性质）,任一条简单闭曲线C：z=z(t)，ta，b，把复平面唯一地分成两个互不相交的部分：,C是它们的公共边界。,一个是有界区域，称为C的内部；,一个是无界区域，称为C的外部.,单连通域与多连通域,复平面上的一个区域 D，如果D内的任何简单闭曲线的内部总在D内，就称 D为单连通域；非单连通域称为多连通域。,多连通域,单连通域,例如|z|0）是单连通的；0r|z|R是多连通的。,三、复变函数,例3,解,四、映射复变函数的几何表示,复变函数的几何意义是一个映射（变换）,函数，映射，变
3、换都是一种对应关系的 反映，是同一概念。,分析中，两个变量之间的对应关系称为函数；,几何中，两个变量之间的对应关系称为映射；,代数中，两个变量之间的对应关系称为变换；,以下不再区分函数与映射（变换）。,实变量的实函数的性质往往可以通过它们 的图形表示出来。但当w=f(z)是复变量时，就不容易找出方便的图形，这是因为z和w 在一个平面上，而不是一条直线上,因此，分别在两个平面上画出它们。,例5,解,关于实轴对称的一个映射,例6,解,旋转变换(映射),例7,解,2),所以z平面的曲线映成w平面的直线,3),所以z平面的直线映成w平面的抛物线,反函数,五、复变函数的极限,注意：,例1 试求下列函数的极限.,解,解法2,解：,例2,证,不存在,复变函数的极限四则运算法则：,六、复变函数的连续性,定理4 连续函数的和、差、积、商（分母不为零）仍连续；连续函数的复合函数仍连续。,例3,闭区域上的连续复变函数在该区域上有界.,例3,解,解：,请预习复变函数的导数与解析函数,谢谢同学们，再见。,
