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1、复变函数的积分,3.1 复变函数积分的概念积分的定义本章中,我们将给出复变函数积分的概念,然后讨论解析函数积分的性质,其中最重要的就是解析函数积分的基本定理与基本公式。这些性质是解析函数积分的基础,借助于这些性质,我们将得出解析函数的导数仍然是解析函数这个重要的结论。,积分存在的条件及其计算方法,1)当是连续函数且是光滑(或按段光滑)曲线时，积分是一定存在的。2)可以通过两个二元实变函数的积分来计算。,3.1.3 积分的性质,从积分的定义我们可以推得积分有下列一些简单性质，它们是与实变函数中曲线积分的性质相类似的.我们把简单闭曲线的两个方向规定为正向和负向.所谓简单闭曲线的正向是指当顺此方向沿
2、该曲线前进时，曲线的内部始终位于曲线的左方，相反的方向规定为简单闭曲线的负向.以后遇到积分路线为简单闭曲线的情形，如无特别声明，总是指曲线的正向.,3.1.3 积分的性质,1234,例1计算 其中 为从原点到点 的直线段。,解 直线的方程可写成又因为容易验证，右边两个线积分都与路线 无关，所以 的值无论 是怎样的曲线都等于,例2计算 其中 为以 中心，为半径的正向圆周,为整数.,解:的方程可写成所以因此,例3计算 的值，其中 为沿从（0，0）到（1，1）的线段：,解:,例4计算 的值，其中 为沿从（0，0）到（1，1）的线段与从（1，0）到（1，1）的线段所连结成的折线。,解:,3.2 柯西古
3、萨（CauchyGoursat）基本定理,3.2.1 积分与路经无关问题积分的值与路经无关，或沿封闭的曲线的积分值为零的条件，可能与被积分函数的解析性及区域的单连通性有关.柯西古萨（CauchyGoursat）基本定理 如果函数在单连域内处处解析，那末函数沿内的任何一条简单闭曲线的积分值为零。即,3.2.3 几个等价定理,定理一 如果函数 在单连域内处处解析，那末积分 与连结从起点到终点的路线 无关.定理二 如果函数 在单连域 内处处解析，那末函数 必为内的解析函数,并且,原函数的概念,下面，我们再来讨论解析函数积分的计算。首先引入原函数的概念：结论：的任何两个原函数相差一个常数。利用原函数的
4、这个关系，我们可以推得与牛顿莱布尼兹公式类似的解析函数积分的计算公式。,定理三 如果函数 在单连域内处处解析，为 的一个原函数，那末这里 为区域 內的两点。,例 5 计算,解：,例 6 计算,解：,例7 计算,解：,例8 计算,解：,3.3 基本定理的推广复合闭路定理,我们可以把柯西古萨基本定理推广到多连域的情况.在区域内的一个解析函数沿闭曲线的积分，不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值，这一重要事实，称为闭路变形原理.,例9计算 的值，为包含圆周 在内的任何一条正向简单闭曲线。,解:,3.4 柯西积分公式,定理(柯西积分公式)如果函数 在区域 内处处解析，为内 的任何一条正向简单闭曲线,
5、它的内部完全含于,为 内的任一点,那末(3.4.1)公式(3.4.1)称为柯西积分公式.通过这个公式就可以把一个函数在 内部任何一点的值,用它在边界上的值来表示.,例10计算(沿圆周正向),解 由公式(3.4.1)得,例11计算(沿圆周正向),解 由公式(3.4.1)得,柯西积分公式不但提供了计算某些复变函数沿闭路积分的一种方法,而且给出了解析函数的一个积分表达式,是研究解析函数的有力工具(见3.5解析函数的高阶导数).一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值.,3.5 解析函数的高阶导数,一个解析函数不仅有一阶导数,而且有各高阶导数.这一点与实变函数完全不同,因为一个实变函数的可导性不保证导数的连续性,因而不能保证高阶导数的存在,关于解析函数的高阶导数我们有下面的定理,定理 解析函数的导数仍为解析函数,它的 阶导数为:其中 为 在函数的解析区域 内围绕 的任何一条正向简单闭曲线,而且它的内部完全含于.,例12 计算 其中 为正向圆周:,解:由公式(3.5.1)得,
