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1、,第八章,第四节,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、一个方程所确定的隐函数 及其导数,三、方程组所确定的隐函数组 及其导数,复合函数与隐函数的求导方法,一、复合函数求导,复合函数求导法则,先回忆一下一元复合函数的微分法则,则复合函数,对 x 的导数为,这一节我们将把这一求导法则推广到多元函数的情形，主要介绍多元复合函数的微分法和隐函数的微分法。我们知道，求偏导数与求一元函数的导数本质上并没有区别，对一元函数适用的微分法包括复合函数的微分法在内，在多元函数微分法中仍然适用，那么为什么还要介绍多元,复合函数的微分法和隐函数的微分法呢？,这主要是对于没有具体给出式子的所谓抽象函数,如,由于 f
2、 没有具体给出,一元复合函数的微分法则就无能为力了，为此还要介绍多元复合函数的微分法和隐函数的微分法。,一、链式法则,证,上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.,如,以上公式中的导数 称为全导数.,上定理还可推广到中间变量不是一元函数而是多元函数的情况：,链式法则如图示,称为标准法则或,这个公式的特征：,函数,有两个自变量 x 和 y,故法则中包含,两个公式；,由于在复合过程中有两个中间变量 u 和 v,故法则中每一个公式都是两项之和，这两项分别含有,每一项的构成与一元复合函数的链导法则类似，,即“函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数”,多元复合函数的求导法则简言之即：,“分道
3、相加，连线相乘”,特殊地,其中,即,令,两者的区别,区别类似,注,此公式可以推广到任意多个中间变量和任意多个自变量的情形,如,则,从以上推广中我们可以得出：所有公式中两两乘积的项数等于中间变量的个数，而与自变量的个数无关,关于多元复合函数求偏导问题,这是一项基本技能，要求熟练掌握，尤其是求二阶偏导数，既是重点又是难点。对求导公式不求强记，而要切实做到彻底理解。注意以下几点将会有助于领会和理解公式，在解题时自如地运用公式,用图示法表示出函数的复合关系,函数对某个自变量的偏导数的结构,（项数及项的构成）,仍是复合函数,且复合结构与原来的 f(u,v)完全相同,即仍是以 u,v 为中间变量，以 x,
4、y 为自变量的复合函数,因此求它们关于 x,y 的偏导数时必须使链式法则,求抽象函数的偏导数时，一定要设中间变量,注意引用这些公式的条件,外层函数可微（偏导数连续）,内层函数可导,的合并问题,视题设条件,解,解,解,由链式法则,故,同理可得,解,令,记,同理有,于是,二、全微分形式不变性,全微分形式不变形的实质：无论 是自变量 的函数或中间变量 的函数，它的全微分形式是一样的.,利用全微分形式不变性，在逐步作微分运算的过程中，不论变量间的关系如何错综复杂，都可以不加辨认和区分，而一律作为自变量来处理,且作微分运算的结果对自变量的微分,来说是线性的,从而为解题带来很多方便，而且也不易出错,例5
5、设,各函数满足求导条件,求,解一,变量间的关系如下图所示,这里变量间的关系比较混乱,用全微分来解,由全微分定理,注意到 x,z 是独立自变量,解二,由全微分定义,注,解法二在实际计算中显得十分灵便且不易出错,故,三、小结,1、链式法则（分三种情况）,（特别要注意课中所讲的特殊情况）,2、全微分形式不变性,（理解其实质）,思考题,思考题解答,本节讨论:,1)方程在什么条件下才能确定隐函数.,例如,方程,当 C 0 时,能确定隐函数;,当 C 0 时,不能确定隐函数;,2)在方程能确定隐函数时,研究其连续性、可微性,及求导方法问题.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一、一个方程所确定的隐函数及
6、其导数,定理1.设函数,则方程,单值连续函数 y=f(x),并有连续,(隐函数求导公式),定理证明从略，仅就求导公式推导如下：,具有连续的偏导数;,的某邻域内可唯一确定一个,在点,的某一邻域内满足,满足条件,机动 目录 上页 下页 返回 结束,导数,两边对 x 求导,在,的某邻域内,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,若F(x,y)的二阶偏导数也都连续,二阶导数:,则还有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1.验证方程,在点(0,0)某邻域,可确定一个单值可导隐函数,解:令,连续,由 定理1 可知,导的隐函数,则,在 x=0 的某邻域内方程存在单值可,且,机动 目录 上页 下页 返回
7、结束,并求,机动 目录 上页 下页 返回 结束,两边对 x 求导,两边再对 x 求导,令 x=0,注意此时,导数的另一求法,利用隐函数求导,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理2.,若函数,的某邻域内具有连续偏导数,则方程,在点,并有连续偏导数,定一个单值连续函数 z=f(x,y),定理证明从略,仅就求导公式推导如下:,满足,在点,满足:,某一邻域内可唯一确,机动 目录 上页 下页 返回 结束,两边对 x 求偏导,同样可得,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2.设,解法1 利用隐函数求导,机动 目录 上页 下页 返回 结束,再对 x 求导,解法2 利用公式,设,则,两边对 x 求偏
8、导,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3.,设F(x,y)具有连续偏导数,解法1 利用偏导数公式.,确定的隐函数,则,已知方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,故,对方程两边求微分:,解法2 微分法.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、方程组所确定的隐函数组及其导数,隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形.,由 F、G 的偏导数组成的行列式,称为F、G 的雅可比(Jacobi)行列式.,以两个方程确定两个隐函数的情况为例,即,雅可比 目录 上页 下页 返回 结束,定理3.,的某一邻域内具有连续偏,设函数,则方程组,的单值连续函数,且有偏导数公式:,在点,的某一邻域内可唯一确定一组
9、满足条件,满足:,导数；,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理证明略.仅推导偏导数公式如下：,(P34-P35),机动 目录 上页 下页 返回 结束,有隐函数组,则,两边对 x 求导得,设方程组,在点P 的某邻域内,公式 目录 上页 下页 返回 结束,故得,系数行列式,同样可得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4.设,解:,方程组两边对 x 求导，并移项得,求,练习:求,机动 目录 上页 下页 返回 结束,答案:,由题设,故有,例5.设函数,在点(u,v)的某一,1)证明函数组,(x,y)的某一邻域内,2)求,解:1)令,对 x,y 的偏导数.,在与点(u,v)对应的点,邻域内有连续
10、的偏导数,且,唯一确定一组单值、连续且具有,连续偏导数的反函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,式两边对 x 求导,得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则有,由定理 3 可知结论 1)成立.,2)求反函数的偏导数.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,从方程组解得,同理,式两边对 y 求导,可得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,从方程组解得,同理,式两边对 y 求导,可得,例5的应用:计算极坐标变换,的反变换的导数.,同样有,所以,由于,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,1.隐函数(组)存在定理,2.隐函数(组)求导方法,方法1.利用复合函数求导法则直接计算;,方法2.
11、利用微分形式不变性;,方法3.代公式,思考与练习,设,求,机动 目录 上页 下页 返回 结束,提示:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解法2.利用全微分形式不变性同时求出各偏导数.,作业 P37 3,6，7,9,10(1);(3)，11,第六节 目录 上页 下页 返回 结束,由d y,d z 的系数即可得,备用题,分别由下列两式确定:,又函数,有连续的一阶偏导数,1.设,解:两个隐函数方程两边对 x 求导,得,(2001考研),机动 目录 上页 下页 返回 结束,解得,因此,2.设,是由方程,和,所确定的函数,求,解法1 分别在各方程两端对 x 求导,得,(99考研),机动 目录 上页 下页 返回 结束,解法2 微分法.,对各方程两边分别求微分:,化简得,消去,机动 目录 上页 下页 返回 结束,可得,解:,二元线性代数方程组解的公式,雅可比(1804 1851),德国数学家.,他在数学方面最主要,的成就是和挪威数学家阿贝儿相互独,地奠定了椭圆函数论的基础.,他对行列,式理论也作了奠基性的工作.,在偏微分,方程的研究中引进了“雅可比行列式”,并应用在微积分,中.,他的工作还包括代数学,变分法,复变函数和微分方,程,在分析力学,动力学及数学物理方面也有贡献.,他,在柯尼斯堡大学任教18年,形成了以他为首的学派.,
