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1、一、平面及其方程,二、直线及其方程,三、小结 思考题,第四节 平面与直线,如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做该平面的法线向量,法线向量的特征：,垂直于平面内的任一向量,已知,设平面上的任一点为,必有,(normal vector),1、平面的点法式方程,一、平面及其方程,平面的点法式方程,平面上的点都满足上方程，不在平面上的点都不满足上方程，上述方程称为平面的方程，平面称为方程的图形,其中法向量,已知点,解,所求平面方程为,化简得,取法向量,化简得,所求平面方程为,解,由平面的点法式方程,平面的一般方程,法向量,2、平面的一般方程,平面一般方程的几种特殊情况：,平面通过坐标原点；,平面通
2、过 轴；,平面平行于 轴；,平面平行于 坐标面；,类似地可讨论 情形.,类似地可讨论 情形.,设平面为,由平面过原点知,所求平面方程为,解,设平面为,将三点坐标代入得,解,将,代入所设方程得,平面的截距式方程,(the intercept form),设平面为,由所求平面与已知平面平行得,（向量平行的充要条件）,解,化简得,令,所求平面方程为,解2:,由所求平面与已知平面平行得:,即,即 D=6,由所求平面为,/,三、两平面的相互关系,相交程度的反映指标,两平面的夹角,定义,（通常取锐角）,两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角.,两平面的夹角,按照两向量夹角余弦公式有,两平面夹角余弦公式,例
3、6 研究以下各组里两平面的位置关系：,解,两平面相交，夹角,两平面平行,两平面平行但不重合,两平面平行,两平面重合.,4、点到平面的距离,分析,点到平面距离公式,方向向量(direction vector)的定义,如果一非零向量平行于一条已知直线，这个向量称为这条直线的方向向量,1、直线的参数方程与对称式方程,二、直线及其方程,直线的参数方程,直线的对称式方程,方向向量的余弦称为直线的方向余弦.,解,所以交点为,所求直线方程,定义,空间直线可看成两平面的交线,空间直线的一般方程,2、直线的一般式方程,例8 用对称式方程及参数方程表示直线,解,在直线上任取一点,取,解得,点坐标,因所求直线与两平
4、面的法向量都垂直,取,对称式方程,参数方程,3、空间两直线的关系,其中,与 共面,两直线的特殊位置关系判定：,/,直线,直线,例如，,解,设所求直线的方向向量为,根据题意知,取,所求直线的方程,直线,直线,两直线的方向向量的夹角称之.（锐角）,两直线的夹角公式,解,先作一过点M且与已知直线垂直的平面,再求已知直线与该平面的交点N,令,M,L,代入平面方程得,交点,取所求直线的方向向量为,所求直线方程为,4、直线与平面的关系,（3）与 相交于一点,（1）与 平行或 含于,定义,直线和它在平面上的投影直线的夹角 称为直线与平面的夹角,(4)直线与平面的夹角,（1）投影直线可求吗？,考虑,法向量与直线的夹角易求吗？与所研究向量的关系是什么？,（2）,直线,投影直线,两直线的夹角公式,直线与平面的夹角公式,解,为所求夹角,设直线 由方程,5、过直线的平面束,平面的方程,（熟记平面的几种特殊位置的方程）,两平面的关系,点到平面的距离公式,点法式方程.,一般方程.,截距式方程.,（注意两平面的位置特征）,三、小结,空间两直线的关系,直线与平面的关系,过直线的平面束,直线的方程,思考题,思考题1解答,思考题,思考题2解答,且有,故当 时结论成立,练 习 题,练习题答案,
