《大规模稀疏矩阵并行计算整.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《大规模稀疏矩阵并行计算整.ppt（21页珍藏版）》请在三一办公上搜索。
1、大规模稀疏矩阵并行计算,李修宇QQ：295553381,11/1/2023,1,主流求解方法,直接法GAUSS消去法波前法多波前法迭代法经典迭代法Jacobi、SOR、SSOR投影方法CG、GMRES预处理技术不完全分解预处理条件代数多重网格技术,11/1/2023,大规模稀疏矩阵并行计算,2,矩阵性质对求解的影响,性质,影响,11/1/2023,大规模稀疏矩阵并行计算,3,非零元的分布带状分布按块分布正定性对称性,矩阵的存储方式求解方法的选择求解速度,直接法,矩阵图重排：一般分为两大类，带宽缩减算法（也常称为外形缩减）和区域分解算法，应用较多的带宽缩减算法CM，RCM，GPS，Rosen算法
2、。一般建议多重方法结合使用：全局方法的全局平衡性、局部方法的局部最优特性。符号分解：确定非零元结构以及相应的消元索引，以便在实际数值分解前确定所需存储资源大小，避免数值分解中动态分配存储空间和复杂的索引策略。构建消去树(elimination tree)：确定分解节点之间的分解依赖，即确定分解的顺序并构成并行分解的层次结构。,11/1/2023,大规模稀疏矩阵并行计算,4,直接法,数值分解：利用符号分解得到的非零元结构和索引沿消去树路径进行分解。回代求解：包括前向（forward）和后向（backward）回代，可先构建消去依赖树或顶点着色技术实现并行回代求解。在有限元领域应用最广的直接求解方
3、法常使用带宽缩减或多区域分解的多波前法（multifrontal）。,11/1/2023,大规模稀疏矩阵并行计算,5,对称正定矩阵的求解,11/1/2023,大规模稀疏矩阵并行计算,6,对称矩阵的不完全分解,11/1/2023,大规模稀疏矩阵并行计算,7,代数多重网格法,V-Cycle AMG（V循环多重网格法）W-Cycle AMG（W循环多重网格法）FMG（完全多重网格法：嵌套网格与V循环或者W循环结合）,11/1/2023,大规模稀疏矩阵并行计算,8,代数多重网格法,11/1/2023,大规模稀疏矩阵并行计算,9,代数多重网格法,在粗网格上对残差方程进行求解（可用迭代法或直接解法）。延拓
4、或插值（interpolation）：将细网格节点上的值通过分片插值延拓到细网格节点上。通过光滑的残差对解进行修正。后光滑（post-smooth），类似于前光滑。,11/1/2023,大规模稀疏矩阵并行计算,10,代数多重网格法方法选择,对于非结构化网格形成的矩阵，SGS，SSOR方法不易并行，即使使用顶点着色技术，因其粗粒度的并行更适合于传统的多核处理器，并不非常适合GPU这样的细粒度并行的架构。Jacobi方法不具有低通滤波性，因此推荐使用damp-Jacobi和PCG方法作为迭代子，其中damp-Jacobi方法的权值一般取为2/3。在最粗网格上的计算推荐使用直接解法。通常对于二阶椭圆
5、边值问题，几何多重网格法具有更好的计算效率以及收敛速度。,11/1/2023,大规模稀疏矩阵并行计算,11,代数多重网格法方法选择,一般遵循两个原则：对于某个顶点，其邻接顶点要么属于粗网格顶点，要么至少连接到一个粗网格顶点。粗网格顶点集应是任意两个粗网格节点不相邻的极大独立集。有时很难同时满足两个条件，优先满足第一个条件时尽量满足第二个条件。,11/1/2023,大规模稀疏矩阵并行计算,12,代数多重网格法方法选择,11/1/2023,大规模稀疏矩阵并行计算,13,代数多重网格法的局限性,任意几何网格不适用于所有问题。需要高质量的网格划分。不便于编写通用的程序。重点要解决的问题：网格粗化（对应
6、于粗水平方程组）。常用的网格粗化方法复杂：RS，RS2，RS3，Falgout，HIPS，CLJP。,11/1/2023,大规模稀疏矩阵并行计算,14,大规模稀疏矩阵GPU计算程序优化设计探索,内核执行的优化在大循环中具有大量入口参数的内核，其不变的参数在循环开始前放入常量内存。避免多余的内存操作合理的网格布局。有时将一个大grid拆分成多个阶段小的grid将有助于提高网格利用率，提高计算效率，例如对称矩阵的分解以及三角方程组的计算。寄存器优化一个线程中计算输出多个变量，用寄存器内存替换共享内存。在Fermi上，如果程序中存取操作占多数，则对于大于32bit的数据，以字节流的形式访问，因为对于
7、例如双精度数据，这时只有一个warp调度器可以工作。,11/1/2023,大规模稀疏矩阵并行计算,15,大规模稀疏矩阵GPU计算程序优化设计探索,合并访问存取操作以half-warp（计算能力=1.3的硬件上）或者warp为单位（Fermi架构上）。例如，在Fermi架构之前的硬件上，用Vector-CSR方法计算稀疏矩阵乘法，使用half-warp相对于使用warp有很高的性能提升。提高线程网格的利用率，减少了线程块的开销。,11/1/2023,大规模稀疏矩阵并行计算,16,大规模稀疏矩阵GPU计算程序优化设计探索,分支优化 消除分支结构的小技巧 例如：if(ab)a=c;else a=0;
8、可以替换为：a=(ab)*c;,11/1/2023,大规模稀疏矩阵并行计算,17,大规模稀疏矩阵GPU计算程序优化设计探索,指令按照half-warp（计算能力=1.3）或者warp对齐。例如：每个线程计算输出7个变量，每个变量的计算差别很大。这时可以让block的第一个warp的所有线程计算第一个变量，第二个warp计算第二个变量，可以利用函数指针（在计算能力=1.3的硬件上可以使用对齐到warp边界的控制语句，这时并不会在warp内造成路径分支（uniform divergence），通过warp编号来选择；但是对于相近的计算则不建议使用函数指针反而会降低效率。,11/1/2023,Foo
9、ter Text,18,大规模稀疏矩阵GPU计算程序优化设计探索,对于矢量类型数据，使用SOA（Structure of Array）格式代替例如，float4可使用 xxxx yyyy zzzz wwww的存储结构代替，一般更有效。在Fermi硬件上，读float4类型的数据，虽然显存带宽可以被充分利用，但是会有部分CUDA Core暂时闲置，并且必须等待两次的存储请求完成才开始计算，而如果使用SOA，则在其后的各分量独立的计算中可以更有效隐藏延迟。,11/1/2023,大规模稀疏矩阵并行计算,19,大规模稀疏矩阵GPU计算程序优化设计探索,如果按照显式的warp模式进行操作，则尽量将每个warp对应操作的存储器起始地址对齐。如果每个warp的活动线程数小于75%左右时，则不建议使用。数据结构应该和网格布局相互适应来有效利用存储控制器的带宽。例如矩阵的转置。,11/1/2023,大规模稀疏矩阵并行计算,20,谢谢！,11/1/2023,21,大规模稀疏矩阵并行计算,
