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1、存贮问题的数学方法,舒兴明,一、存贮问题,1、工厂订购原料，存入仓库供生产所用；2、车间一次加工生产一批零件，供装配线每天生产之需；3、放在货柜里以备零售；4、水库在雨季蓄水，用于旱季灌溉和发电；5、自动取款机每天早上一次性放入若干货币，以供消费者自由取款；6、计算机的硬盘里的内存的预留问题；等等。,这些问题，都存在一个存储多少才合适的问题，存储过多，存储费用、积压货物本身的资金的流动、资金本身的利息等太多；存储太少，会导致订购货物次数太多而增加采购费或不能及时满足消费需求而增加其它费用。,姜起源.谢金星.数学模型.高等教育出版社.59页,二、与存贮问题有关的几个术语,1、需求,所谓需求，就是
2、将存贮在“仓库”的“货物”提供给需要的一方。存贮的目的就是为了满足需求，随着需求的发生，存贮将减少。,需求分类：,（1）连续性需求和间断性需求,若需求是连续的，则存贮就是连续减少；若需求是间断的，则存贮是跳跃式减少（需求是瞬间完成的）。,（2）确定性需求和随机性需求,需求发生的时间和数量是确定的，就是确定性需求；否则就是随机性需求。,2、补充,所谓补充就是向“仓库”里添加存贮物，使得存储量得以增加或恢复。补充不及时或者补充不足，就无法满足新的需求。,补充的方式：,（1）提前定货，货到就即刻补充，并使得存贮量得到规定的量；且一般认为这种补充是瞬间完成的。,（2）自己安排生产，一般生产速度（单位时
3、间内生产的货物数量）大于需求速度（单位时间内对货物的需求数量）。,3、存贮状态图,在一个存贮系统中，存贮量因需求而减少，因补充而增加。在直角坐标系下，以时间t为横轴，以实际存贮量S为纵轴，将每个时刻t对应的存贮货物量S反应在坐标平面，就得到一条反应实际存贮量S的动态变化规律的曲线，称为存贮状态图。,例如，开始有Q这么多的货物量，每单时间的货物需求数量（连续需求速度）为r，若在0，T这段时间内货物全部供应给需求者，则仓库的货物数量的状态图为,t,S,0,T,Q,S(t)=Q-rt,连续需求的存贮状态曲线,从图中可以看出，存贮状态随时间变化而变化，且S(0)=Q，S(T)=0。当S=0时，瞬间补充
4、货物量，使得存贮量又恢复到Q（补充量为Q）,补充,又如，刚开始有500单位货物，需求是离散需求，每10天需求100单位货物，则存贮状态图为,S,t,0,T,补充,500,离散需求的存贮状态图,3、费用,在研究存贮问题中，总是用费用来评价存贮策略的优劣性。为了正确评价一个系统的不同策略的优劣性或评价不同存贮系统的优劣性，必须满足可比性要求：时间一致的可比性和计算口径（项目一致）的可比性。常用一个存贮周期内的总费用或单位时间平均总费用来衡量一个存贮系统的优劣性。,在研究存贮问题时，经常要考虑的是如下一些项目的费用：,（1）存贮费：存贮货物的资金利息、保险、仓库租借费用、保管费、维修费、物资自然耗损
5、费等，一般与存贮时间和存贮数量成比例；,（2）缺货费：存贮不能满足需求而造成的损失，如失去销售机会、停工待料的损失、延期交货的额外支付、对需求方的赔偿。缺货费与缺货数量和时间成比例，当不允许缺货时，缺货费为无穷大。,（3）订货费或生产费,（3.1）当向外采购货物补充存贮量时，就发生订货费，这包括两部分：一部分是订购费，例如手续费、差旅费等，它与订货次数有关，而与订货数量无关；另一部分就是物资进货成本，如货款、运费等，只与订货数量有关（货款与运费可能会有所波动）。,（3.2）如果自行生产货物而补充物资存贮量，则需要生产费，它也包括两部分：一部分是固定费用（装配生产线、生产准备费用、或组织调整生产
6、线的费用等），它与生产次数有关，与生产数量无关；另一部分是与生产量有关的费用，如原材料和零部件的成本、直接加工费用等。,4、存贮策略,什么叫存贮策略呢？就是决定以什么方式对存贮进行补充，什么时间补充，补充多少。常见的存贮策略有以下几种：,（1）t-循环策略：每隔固定的时间t，补充一个固定的量Q；,（2）(t,S)策略：每隔固定时间t补充一次，补充前对仓库盘点，如果物资量为I，仓库的最大库存容量为S，则补充量Q=S-I。,（3）（s,S)策略：设仓库的最大容量为S，时刻监控物质的余量I，如果I大于等于s（称为警戒点、安全存储量、保险存储量），则不补充；如果I小于s，则补充货物，补充量为Q=S-I
7、。,（4）(t,s,S)策略：（自行补充）。,三、存贮模型1 不允许缺货模型,三、存储模型1,配件厂为装配线生产若干种部件，轮换生产不同的部件时，因更换设备需要付出生产准备费用(与产量无关)，同一部件的产量大于需求时，因资金积压、占用仓库需要存储费用。今已知某一部件日需求量100件，生产准备费用为5000元，存储费用每天每件1元。如果生产能力远远大于需求，并且不允许出现缺货，试安排该产品的生产计划，即多少天生产一次(称为生产周期)，每次产量多少，可使得总费用或平均费用(注意费用口径一致：时间一致，项目一致)最少。,模型分析,如果每天安排生产一次，每次生产100件，则一天费用为5000元；但是如
8、果这样连续生产x天，则x天总费用为5000 x元。如果每隔x天生产一次，一次生产100 x件，则生产准备费用为5000元，存储费用为,姜起源.谢金星.数学模型.高等教育出版社.59页,则每隔x天生产一次，这x天中总费用为,元,元,平均每天的费用为,其函数曲线如下(见附件1),每x天生产一次的平均费用,x*为最优点,x*,由上面的图可以看出，存在x*，每隔x*天安排一次生产，这x*天内每天的费用都低于其它安排。称x*为生产周期。如何求这个x*，其它类似问题是否可以一样求解呢？,模型假设,1、为了方便，考虑连续情况，即需求是连续，生产周期和产量也是连续；2、产品的需求速度是一个确定常数；3、生产能
9、力无穷大(相对需求)，即可以很短时间内实现任何产量，即永远不会缺货；,符号设置,R 需求速度；Q 周期内的产量；T生产周期；C1 生产准备费用；C2单位产品每天的存储费用；S 货物存储量；,模型建立,t=0时刻开始生产的货物量为Q。存储量S是时间t的函数，记为S(t)，且开始时S(0)=Q（产量），随着需求的进行，S(t)是减函数，且S(T)=0，又开始生产补充。这一过程可以用如下动态过程表示。,RT=Q,T,斜率为R,0,t,S(t),存储状态变化图,一个周期内的生产准备费用为C1，一个周期内的存储费用为,Q,T,R,0,t,S(t),存储状态变化图,存储费,，所以周期T内总费用,周期T内每
10、天平均费用为,1,对1函数的驻点，得,2,将其带入Q=RT，得到,3,2和3是经济学上著名的经济订货批量公式(EOQ:),将2带入1，得到平均最小费用,4,模型求解,结果解释,由2可以看出,1、生产准备费用C1越大，生产周期越长；单位存储费用C2和需求速度R越大，生产周期越短。,由3可以看出,2、生产准备费用C1越大，需求速度R越大，产量Q越大；单位存储费用C2越小，产量Q越大。,这两个结果符合常识，但是，它们之间关系呈平方根关系，只有靠数学模型得到（用途？）。,将问题已知条件C1=5000，R=100，C2=1代入2、3和4得到,敏感性分析,由公式,对C1,C2,R,分别求偏导数，得,注：函
11、数改变的百分比/自变量改变的百分比=函数的弹性，即,函数y=f(x)在x0附近有定义，如果下式成立，,5,2,称5为函数y=f(x)在点x0处的弹性，反映函数y随自变量x变化的剧烈程度。即自变量变化1%时，函数y变化的百分比，若E(y)为正，表示增加的百分比；如果E(y)为负，表示下降的百分比，总是是反映函数对自变量的灵敏程度。,下面就用弹性这个概念来计算平均费用对各个参数的灵敏程度。这里C1=5000，C2=1，R=100。,1、周期T对生产准备费用C1的灵敏度分析,结果说明，当生产准备费用变动1%时，周期t用只是变动0.5%，说明周期对准备费用反应不灵敏。,2、周期T对存储费用的灵敏度分析
12、,计算结果表明，存储费用每增加1%，周期T则下降0.5%，反应不太灵敏。,3、周期T对需求速度R的灵敏度分析,计算结果表明，存储费用每增加1%，周期T则下降0.5%，反应不太灵敏。,模型改进,1、在假设3中，假设生产能力无限大，即缺货瞬间补充。如果生产能力有限，且生产速度P(大于需求速度)也是一个常数，怎么建立公式14?,0,t,T,T1,Q,斜率R,斜率P-R,2、在此生产存储模型中，没有提到生产产品的费用？为什么？在什么情况下不考虑生产费用也可以求生产周期？,（在生产过程中，生产要素所涉及的价格不改变，且需求速度不改变，即可不考虑）,四、存贮模型2,四、存贮模型2 允许缺货的存贮模型,在某
13、些情况下用户允许短时间缺货，虽然会造成一定的损失，但是只要损失费用不超过不允许缺货的准备费用和存储费用的话，允许缺货应该是可以采取的策略。,下面讨论允许缺货的模型,模型假设,1、为了方便，考虑连续情况，即需求是连续，生产周期和产量也是连续；2、产品的需求速度是一个确定常数；3、生产能力无限大（相对于需求），允许缺货，每天每件产品缺货损失费用为C3，但缺货的数量在下次生产(或订货)时补足；,姜起源.谢金星.数学模型.高等教育出版社.61页,符号设置,R 需求速度；A 最大存储量；T 生产周期；C1 生产准备费用；C2单位产品每天的存储费用；S 货物存储量；C3 单位缺货费用；T1 开始缺货点；B
14、 最大缺货量；Q 货物产量；,模型建立,S,t,0,A,T1,T,-B,斜率R,S,t,0,A,T1,T,-B,斜率R,S(t)=A-Rt,根据问题的描述，0,T1上货物的存储量S(t)=A-Rt，S(0)=A，S(T1)=0,S(T)=-B。0,T1有货物存储，T1,T货物短缺，分别产生存储费和缺货费。且,6,生产准备费用 C1,存储费用,下面求0,T时间短所发生的费用,S,t,0,A,T1,T,-B,斜率R,S(t)=A-Rt,缺货费用,总费用为,7,0,T上每天的平均费用为,8,求8的驻点，由方程,求解得到驻点,9,10,将9、10带入6，得到,周期内最大存储量,周期内产量,11,12,
15、令,，通过对比912和2、3，有,13,RT=Q,T*,斜率为R,0,t,S(t),不允许存储状态变化图,S,t,0,A,T1,T,-B,斜率R,允许缺货存储状态变化图,13,模型1和模型2之间关系的解释,1、当T=T1时，模型2就是模型1；,2、由于,这与C20矛盾；,3、由允许缺货变成不允许缺货，,是由信誉机制或者惩罚机制自然形成，若让缺货代价趋向无穷大，系统自然朝着不会缺货方向发展。即,只要缺货费C3越来越大（相对于存储费C2）,则有,五、用规划方法研究存贮系统的方法,配件厂为装配线生产若干种部件，轮换生产不同的部件时，因更换设备需要付出生产准备费用(与产量无关)，同一部件的产量大于需求
16、时，因资金积压、占用仓库需要存储费用。今已知某一部件日需求量100件，生产准备费用为5000元，存储费用每天每件1元。如果生产能力远远大于需求，并且不允许出现缺货，试安排该产品的生产计划，即多少天生产一次(称为生产周期)，每次产量多少，可使得总费用或平均费用(注意费用口径一致：时间一致，项目一致)最少。,姜起源.谢金星.数学模型.高等教育出版社.59页,例题1 不允许缺货，补充瞬间完成，需求连续均匀,模型假设,1、为了方便，考虑连续情况，即需求是连续，生产周期和产量也是连续；2、产品的需求速度是一个确定常数；3、生产能力无穷大(相对需求)，即可以很短时间内实现任何产量，即永远不会缺货；,符号设
17、置,R 需求速度；Q 周期内的产量；T生产周期；C1 生产准备费用；C2单位产品每天的存储费用；S 货物存储量；,RT=Q,T,斜率为R,0,t,S(t),存储状态变化图,存储费,，所以周期T内总费用,周期T内每天平均费用为,1,（1）计算最佳订购量Q*和周期T*的规划模型,（1）求解,求解程序：,min=c1/t+1/2*c2*r*t;q=r*t;gin(q);c1=5000;c2=1;r=100;,计算结果：,Global optimal solution found at iteration:218 Objective value:1000.000 Variable Value Redu
18、ced Cost C1 5000.000 0.000000 T 10.00000 0.000000 C2 1.000000 0.000000 R 100.0000 0.000000 Q 1000.000 0.2489742E-06,即最佳周期为T*=10(天），最佳经济订购批量Q*=1000（件）,sets:qianhou/1.2/:c1,c2,r,t,c,q;endsetsdetc=c(2)-c(1);for(qianhou:c=c1/t+1/2*c2*r*t);for(qianhou:q=r*t);free(detc);data:c1=5000,5000;c2=1,1;r=100,100;
19、t=10,9;enddata,（2）灵敏度分析,(2.1)其它因素不变化，只要周期缩短一天，平均费用的增量计算程序。,计算结果显示,Variable Value DETC 5.555556,根据计算结果，只是周期缩减一天，平均费用增加5.56元。,sets:qianhou/1.2/:c1,c2,r,t,c,q;endsetsdetc=c(2)-c(1);for(qianhou:c=c1/t+1/2*c2*r*t);for(qianhou:q=r*t);free(detc);data:c1=5000,5000;c2=1,1;r=100,100;t=10,11;enddata,周期增加一天的计算结
20、果：,Variable Value DETC 4.545455,根据计算结果，其它因素不变化，只是周期增加一天，平均费用增加4.55元。,（2.2）其它因素不变化，只是需求速度有所变化，引起的平均费用的改变的计算,sets:qianhou/1.2/:c1,c2,r,t,c,q;endsetsdetc=c(2)-c(1);for(qianhou:c=c1/t+1/2*c2*r*t);for(qianhou:q=r*t);free(detc);data:c1=5000,5000;c2=1,1;r=100,101;t=10,10;enddata,需求速度增加一个单位引起的平均费用的改变量为：,Var
21、iable Value DETC 5.000000,根据计算结果，平均费用增加5.0（元）。,sets:qianhou/1.2/:c1,c2,r,t,c,q;endsetsdetc=c(2)-c(1);for(qianhou:c=c1/t+1/2*c2*r*t);for(qianhou:q=r*t);free(detc);data:c1=5000,5000;c2=1,1;r=100,99;t=10,10;enddata,其它因素不改变，只是需求速度降低一个单位，根据计算：,Variable Value DETC-5.000000,此时平均费用减少5元。,（2.3）其它因素不改变，只是单位存储费
22、c2改变一个单位，引起的平均费用的改变。,sets:qianhou/1.2/:c1,c2,r,t,c,q;endsetsdetc=c(2)-c(1);for(qianhou:c=c1/t+1/2*c2*r*t);for(qianhou:q=r*t);free(detc);data:c1=5000,5000;c2=1,1.01;r=100,100;t=10,10;enddata,单位存贮费用增加1%，即由1变成1.01，平均费用的改变计算结果如下：,Variable Value DETC 5.000000,即平均费用增加5元。,sets:qianhou/1.2/:c1,c2,r,t,c,q;en
23、dsetsdetc=c(2)-c(1);for(qianhou:c=c1/t+1/2*c2*r*t);for(qianhou:q=r*t);free(detc);data:c1=5000,5000;c2=1,0.99;r=100,100;t=10,10;enddata,单位存贮费用减少1%，即由1变成0.99，平均费用的改变计算结果如下：,Variable Value DETC-5.000000,即平均费用减少5元。,例题2 允许缺货，补充时间较短，需求连续均匀,企业生产某种产品，正常生产条件下每天可以生产10件。根据供货合同，需要按照每天7件供货。存储费每天每件0.13元，缺货费每天每件0.
24、5元，每次生产准备费用（装配费）为80元，求最优存储策略。,模型假设：,（1）需求是连续均匀的，即需求速度是常数；（2）补充需要一定时间，一旦需要，即刻可以开工生产，但需要一定的生产周期，并且设生产速度是均匀的，即生产速度是常数，且生产速度大于需求速度；,符号设置,r，需求速度；p，生产速度；c1，单位存储费用；c2，单位缺货费用；c3，生产准备费用；S，仓库最大存贮量；s0，最大缺货量；T，周期；C，存储周期内的总费用；Cbar，周期内平均费用；q，一次产量；不考虑货物本身的价值（市场稳定情况）。,绘制存贮状态图,t,S,S0,0,T1,T2,T3,T,区间说明：0,T1不缺货，存货均匀连续
25、从S减少到0，只产生存贮费；T1,T2开始缺货，需求持续，达到最大缺货量S0，只产生缺货费；,斜率为-r,斜率为p-r,T2,T3 边生产，边满足需求，这期间产生的费用有生产费用，缺货费，没有存储费；,T3，T 边生产，边满足需求，边补充库存量，直到库存量达到最大值S为止，产生存贮费用；,0，T 为一个存贮周期；,T1，T3为缺货周期；,T2，T 为生产周期。,先计算各个阶段产生的费用：,0,T1存储费,T1,T2缺货费,T2,T3 缺货费与生产准备费用,T3,T 存贮费用,0，T周期内的总费用为,（用面积法就很好理解）,建立数学模型,s.t.,计算程序：,min=cbar;cbar=c/t;
26、c=1/2*c1*s*t1+1/2*c1*s*(t-t3)+c3+1/2*s0*c2*(t3-t1);s=r*t1;s=(p-r)*(t-t3);s0=r*(t2-t1);s0=(p-r)*(t3-t2);Q=r*t;tt3;t3t2;t2t1;t11;c1=0.13;c2=0.5;c3=80;p=10;r=7;,计算结果为,Variable Value Reduced Cost CBAR 5.887841 0.000000 C 159.9999 0.000000 T 27.17464 0.000000 S 45.29106 0.000000 T1 6.470151 0.000000 T3 1
27、2.07762 0.000000 S0 11.77568 0.000000 T2 8.152391 0.000000 Q 190.2224 0.000000,最佳周期T*=27.17天；最佳产量Q*=190.22件；最大存储量S=45.29件；最大缺货量s0=11.77件；开始在生产周期T-T2=19.02天。,Global optimal solution found at iteration:10854 Objective value:5.887841 Variable Value Reduced Cost CBAR 5.887841 0.000000 C 159.9999 0.00000
28、0 T 27.17464 0.000000 C1 0.1300000 0.000000 S 45.29106 0.000000 T1 6.470151 0.000000 T3 12.07762 0.000000 C3 80.00000 0.000000 S0 11.77568 0.000000 C2 0.5000000 0.000000 R 7.000000 0.000000 P 10.00000 0.000000 T2 8.152391 0.000000 Q 190.2224 0.000000,例题3 不允许缺货，补充时间较长,某商店经销某商品，月需求量为30件，需求速度为常数。该商品每件进
29、价300元，月存贮费为进价的2%。向工厂订购该商品时订购费每次20元，订购后5天才开始到货，到货速度为常数，每天2件，求最优订购策略。,绘制存贮状态图,t,s,0,5,t,t1,L,S,如有图所示：,-r,P-r,-r,提前订货,货物补充,只是需求,模型假设：,（1）需求连续均匀，即需求速度为常数；,（2）补充需要一段时间，为了不缺货，必须提前5天预定，5天后货物即可补充，补充速度为常数,且补充速度大于需求速度；,（3）只考虑存贮费和订购费，不考虑货物价值。,符号设置：,T，存贮周期；t1，货物补充完毕时刻；r，需求速度；p，补充速度；S，最大存贮量；L，货物补充点；Q，最大订购量；c1，单位
30、存贮费用；c3,货物订购费用。C，周期内总费用；cbar,周期内平均费用。,建立模型,如上图所示，0，t内产生的总费用为,周期内平均费用为,数学规划模型,s.t.,min=cbar;cbar=c/t;c=c3+1/2*c1*t*S;l=5*r;s=(t1-5)*(p-r);s=(t+5-t1)*r;q=r*t;c1=300*0.02/30;c3=20;p=2;r=1;tt1;t15;,计算程序,计算结果,Variable Value Reduced Cost CBAR 2.000000 0.000000 C 39.99999 0.000000 T 20.00000 0.3025994E-07 C3 20.00000 0.000000 C1 0.2000000 0.000000 S 9.999998 0.000000 L 5.000000 0.000000 R 1.000000 0.000000 T1 15.00000 0.000000 P 2.000000 0.000000 Q 20.00000 0.000000,根据计算，最佳周期T*=20(day)，订购量Q*=20件，最大存储量S*=10件。,
